Cuando en Bachillerato me definieron por primera vez de manera relativamente formal los números reales, me los axiomatizaron de un modo lo más simple posible, y me soltaron eso de que “R es un cuerpo conmutativo, ordenado y completo”. La noción de cuerpo más o menos parecía intuitiva: básicamente, que los reales satisfacieran las propiedades básicas de la suma y el producto. La relación de orden ya me resultaba más alambicada, aunque sin duda comprensible. El problema, por supuesto, venía con la noción de completitud, que es precisamente la nota distintiva de los reales. Hasta hace poco no creo haber terminado de enterarme de qué iba la película, y de eso justo va este vídeo…
Hablar de la existencia del conjunto de los números reales como objeto matemático antes del siglo XIX presenta serios problemas. Inicialmente no va a ser mi objetivo discutir el estatus metafísico de los reales en un contexto más amplio, sino simplemente restringirme a un paradigma constructivista, en relación a su existencia desde un enfoque más bien epistemológico.
Aquí la clave es partir de la noción de continuidad. En efecto, la historia que conduce a la constitución de los números reales, que es la historia del análisis, es a grandes rasgos la historia de las funciones continuas, y, en función de las discontinuididades, discutir otras propiedades, como su integrabilidad. Es también la historia de qué sucede cuando sumamos infinitas funciones continuas: ¿esa suma sigue siendo una función continua?
El problema no es menor, pues nos conduce directamente a los problemas que vienen asociados al infinito: para empezar, con las sumas infinitas, las series, aunque también con el cálculo diferencial, que trata con lo infinitamente pequeño, lo infinitesimal. De aquí se saltará a lo largo del siglo XIX al estudio de los conjuntos infinitos, desde una variedad de enfoques que iremos repasando. Pero, antes, por si alguien todavía duda de la problemática que sugiere el uso del infinito en matemáticas, consideremos la suma infinita 1-1+1-1+1-1+… ¿Cuál es su valor? Alguien puede sugerir que es cero, si asociamos (1-1)+(1-1)+(1-1)+…; sin embargo, si asociamos de otro modo, lo que podemos hacer sin duda para sumas finitas, tendríamos 1-(1-1)-(1-1)-…, que parece valer 1. ¿Cuál es el valor de la serie?
En este caso, la discusión de cuándo puede aplicarse la propiedad asociativa a una suma infinita es, sin embargo, sencilla: basta con que converja a una cierta cantidad para que podamos reasociarlas. Ahora bien, incluso convergiendo, eso no sería suficiente para que pudiéramos reordenar los términos, como sí haríamos con una suma finita: necesitaríamos la condición adicional de que la suma de los valores absolutos también convergiera para poder aplicar la propiedad conmutativa. La historia del análisis es en buena parte la historia de las sumas infinitas.
Pero vayamos a un ejemplo más cercano como discusión intuitiva de los números reales. Imagina la recta real, centrada en el origen. Multiplica ahora por ejemplo por 2 cada uno de sus elementos. Sin duda, veremos cómo el origen no se ha desplazado, pero que la posición del 4 ahora la ocupa el 2, la del 2, el 1, y sucesivamente. Lo cierto es que, aun así, la recta real sigue teniendo la misma apariencia: sigue siendo un continuo en la que los elementos que vemos simplemente son los mismos que antes, pero divididos entre dos. Multiplica ahora por un número cualquiera N, todo lo grande que quieras, pero finito. Sin duda, el mismo razonamiento de antes nos conduce a ver que la recta seguirá con la misma apariencia: a cada punto de antes uno puede asociarle aquel elemento, pero dividido entre N. Solo hemos estirado una recta, que parece tener una flexibilidad arbitrariamente grande. Ahora bien, ¿qué sucede si multiplicamos por infinito? Está claro que ninguno de los puntos que antes estaba a una distancia finita del origen podemos seguir viéndolos, porque ahora se encuentran infinitamente lejos. O sea: en apariencia, al hacer zoom de forma infinita en la recta real centrada en el origen, solo obtendríamos el origen. Un punto completamente aislado.
Ahora bien, esto no se corresponde con nuestra visión intuitiva de qué significa estirar infinitamente una recta: supongamos por un momento que al multiplicar cada número real por infinito, sigamos teniendo una recta continua. ¿Qué números veríamos ahora en el trozo que estamos observando? Pues está claro: cualquier número que, multiplicado por un factor infinito, dé un número finito de nuestro rango de valores. Pero si dicho número se encontraba a una distancia finita del origen antes de estirar la recta, el producto no puede ser finito. Así pues, habrá que concluir que, bajo esta suposición, existen números menores que los números finitos, pero que no son exactamente cero: los infinitesimales. (Sí, los mismos que aparecen en la notación de Leibniz de la derivada y de la integral, el “diferencial”, vestigio de un tiempo en que la formalización de los reales todavía no se había efectuado, pues este problema surgió solo y por el desarrollo previo del análisis). La noción de infinitésimo requiere del no cumplimiento de un principio que podemos o no tomar a la hora de definir a un conjunto numérico: el principio arquimediano. El principio arquimediano se cumple siempre que para todo par de números de un conjunto, si multiplicamos uno de ellos por un cierto natural lo suficientemente grande, el producto excederá al otro.
Evidentemente, si se cumple el principio arquimediano, el experimento mental de la recta real magnificada infinitamente da como resultado un solo punto, pues todos los demás, al estar a una distancia finita del origen, ahora salen del radio de nuestro intervalo. Solo si no aceptamos el principio arquimediano podremos seguir contemplando la recta real como en un inicio: todos los elementos que vemos ahora poseen una distancia finita al origen porque antes poseían una distancia infinitesimal: infinitamente pequeña, inconmensurable con respecto a los números finitos que sí observábamos.
Además, por un proceso inductivo, podemos percatarnos de la necesidad de que existan infinitésimos de orden dos, orden tres, etc., pues si tomamos la recta magnificada infinitamente anterior, y volvemos a multiplicarla por un factor infinito, si el resultado sigue siendo una recta, es porque había infinitésimos inconmensurables con respecto a los infinitésimos anteriores, y así sucesivamente.
Como se ve, la sola discusión de un principio tan elemental como el arquimediano, posee consecuencias fundamentales en el entendimiento que poseemos de la recta real. En un caso, asumiremos la existencia de magnitudes infinitamente pequeñas e incomparables con toda magnitud finita, y en el otro, tendremos que utilizar otra vía deductiva para formalizar los conceptos centrales del cálculo diferencial e integral. Esta segunda fue la vía que tomaron los matemáticos a partir especialmente de Cauchy y Weierstrass, a lo largo del XIX, mientras que la no aceptación del principio arquimediano dio lugar al llamado análisis no estándar, ya en el siglo XX, que buscó seguir la estela de Leibniz con una fundamentación alternativa del cálculo basada en una concepción más general de los números: los números hiperreales, que incluyen a los infinitésimos, a los números reales convencionales, y a los números infinitos.
La pérdida de perspectiva usual que tiene lugar en la mayor parte de apuntes y libros sobre matemáticas es consecuencia natural de que ni siquiera se tengan en cuenta estas disputas en torno al enfoque que ha de dársele al formalismo matemático. Esto por no mencionar el aporte prácticamente nulo de información histórica en torno a por qué surgieron ciertas definiciones y modos de operar, y no otros. Una exposición mucho más motivada de cualquier concepto matemático debe partir precisamente desde la perspectiva más general que ofrece un enfoque histórico, más cercano al de la historia de la filosofía.
Como hemos dicho, la aparición de los números reales como problema matemático va asociado ineludiblemente al estudio de las funciones continuas e integrables. La noción de continuidad venía dada desde la Antigüedad como subordinada a la noción de lo extenso (en el tiempo, en el espacio, en la recta geométrica…). En su libro Los números reales como objeto matemático, Gabriela Arbeláez y Fernando Gálvez explican esto del modo más condensado que he encontrado: “los objetos de Euclides se dicen continuos en consonancia con las operaciones y propiedades posibles en la teoría como, por ejemplo, la propiedad arquimediana. Sin embargo, no hay en el corpus teórico de Euclides un intento por definir, ni menos por construir, la propiedad de continuidad; esta constituye para él un a priori, la continuidad es una condición natural de sus objetos y ella es suficiente para construir su teoría. En este sentido, nosotros decimos que en Euclides la continuidad es una propiedad de objetos matemáticos, pero no hay nada en este contexto que permita siquiera sospechar el continuo como un objeto matemático en el sentido antes mencionado”. El sentido al que se refieren es el sentido que antes llamé constructivista.
Fijémonos entonces en la continuidad. Antes de que Bolzano y Cauchy reformularan la cuestión a principios del siglo XIX, el aparente isomorfismo establecido entre funciones continuas y funciones que cumplían la propiedad del valor intermedio era puramente intuitiva y geométrica. Que una función cumpla la propiedad del valor intermedio implica que si en algún punto posee un valor a y en otro punto un valor b, en al menos un punto intermedio esta posee un valor c comprendido entre a y b. Pues bien, hay funciones que cumplen esta propiedad que no son continuas, al no ser acotadas en algún intervalo. En el otro sentido, para demostrar que una función continua sí cumple la propiedad del valor intermedio, es decir, para demostrar el teorema de Bolzano, hay que utilizar una premisa adicional sobre el conjunto de números reales: tienen que ser un conjunto completo.
Hay varias demostraciones alternativas del teorema de Bolzano: cada una de ellas usa una forma alternativa de la premisa de completitud, que luego detallaremos debidamente. Por ejemplo, la demostración que me dieron a mí en Bachillerato partía de la existencia de un supremo para todo conjunto acotado superiormente. A una alumna mía se lo explicaron con el principio de los intervalos encajados de Cantor. Nosotros nos vamos a fijar en la demostración que efectuó el propio Cauchy, por medio de sucesiones, es decir, listas de números infinitas. El caso es que admitió peligrosamente una proposición: que toda sucesión cuya diferencia “para los últimos términos” tendiera a cero era convergente. Formalmente, asumió que toda sucesión de Cauchy converge, lo cual es falso en general. La cuestión es la siguiente: nuestra noción intuitiva de los reales como “continuo”, la misma que la de Cauchy, nos permite asumir ese principio como axioma, y, en ese caso, la demostración es correcta. Pero, según vemos, no hay formalización de la continuidad si no existe el continuo, y el estudio de ese continuo como objeto matemático en sí mismo es el que acababa de inaugurarse con el intento de comprender las funciones continuas: los números reales salieron al fin del terreno impreciso de la intuición física de una línea continua, para fundamentarse matemáticamente.
Para incidir en la importancia de este salto en la historia del análisis, y sus consecuencias en la creación de nuevas áreas de la matemática como la teoría de conjuntos y la topología, consideremos la confusión todavía reinante en tiempos de Bolzano en torno a los conceptos de densidad y continuo. Hay que tener en cuenta que un subconjunto de R es denso si, dando igual el abierto que cojamos, hay algún elemento ahí metido. Bolzano: “Si intentamos entonces formarnos una idea clara de lo que llamamos una extensión continua o un continuo, no podemos evitar la aclaración de que un continuo existe allí y solamente allí donde hay un agregado de objetos simples (puntos en el tiempo o en el espacio, o bien substancias), cada uno de los cuales tiene la propiedad de que, dada una distancia arbitrariamente pequeña, existe siempre otro objeto del mismo agregado que se encuentra en su vecindad. Si no es este el caso; es decir, si, por ejemplo, en un cierto agregado de puntos hay por lo menos un elemento que no se encuentra densamente rodeado de puntos (o sea, cuando no ocurre que para cualquier distancia arbitrariamente pequeña exista un elemento del agregado en su vecindad) llamamos a ese punto un punto aislado y decimos que el agregado en cuestión no constituye un continuo”.
Desde luego que si tomáramos la recta real y atendiéramos a la concepción que Bolzano tiene de lo continuo, resultaría que los racionales, que son densos (porque entre dos reales siempre hay algún racional), son suficientes para generar el continuo. Pero es que hay sucesiones de Cauchy que en los racionales no convergen. Por ejemplo, la sucesión 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415… que en los reales converge a pi, aun siendo de Cauchy, no lo hace en los racionales. Análogamente, podríamos decir que ese conjunto, acotado y no vacío, si bien posee una cota superior mínima en el caso de los reales, el supremo, no la posee en los racionales: cualquier racional que sea cota superior de nuestro conjunto es mayor que algún otro racional que también es cota superior del mismo. El axioma que distingue en este caso a los racionales de los reales es que en los segundos, al contrario de en los primeros, se cumple que para todo subconjunto suyo no vacío y acotado superiormente, hay una menor cota superior o supremo. Esto, como se ve, no tiene nada que ver con la propiedad de la densidad, igual que tampoco tiene nada que ver con otras formas de medir la cantidad de elementos de un conjunto, la cardinalidad. Conviene pararse también brevemente en esto.
Décadas después de que Fourier diera el pistoletazo de salida para el estudio de las series trigonométricas, es decir, sumas infinitas de senos y cosenos, la comunidad matemática empezó a afinar mucho más su comprensión de la integrabilidad, que era necesaria para discutir resultados sobre series de Fourier. La integral de Riemann, de hecho, se presentó solamente como herramienta para estudiar con más solvencia las series de Fourier. Una de las cuestiones a plantear era la siguiente: ¿podemos tener dos series trigonométricas distintas que puedan converger a una misma función? O sea: ¿podríamos tener series trigonométricas con coeficientes no nulos que convergieran al cero?
Primero se estudió una condición muy fuerte de convergencia, la convergencia uniforme de las series, que Cantor observó que era innecesaria de cara a demostrar que sí, que, en efecto, si una serie de Fourier convergía para todo x a cero, sus coeficientes eran cero. Un año después, Cantor fue más allá y demostró que si la serie convergía a cero excepto en un número finito de puntos, entonces también sus coeficientes eran cero. Pero, ¿y qué sucedía si convergía excepto en un número infinito de puntos? La cuestión es cómo de grande era ese número infinito de puntos: he aquí, de nuevo, cómo el análisis, topándose con el infinito, dio lugar a la teoría de conjuntos; porque ¿cómo podemos medir el “tamaño” de un conjunto infinito?
Si cogemos un conjunto finito, es bastante claro que lo lógico es medirlo por su cardinalidad, es decir, por el número de elementos que lo componen. La cuestión es que en el caso de los conjuntos infinitos, a priori, hablar de cardinalidad en los mismos términos es imposible. Efectivamente: para hablar del “número de elementos” de un conjunto hace falta ir un poco más allá, y decir que un conjunto es numerable, “se puede contar”, si existe una biyección entre los naturales y ese conjunto, y no numerable si dicha biyección no puede establecerse. Es bien sabido que los racionales son numerables, y que los reales no lo son, pudiéndose encontrar la demostración de Cantor por todos lados en Internet.
La cosa es que incluso los números algebraicos, es decir, las soluciones de polinomios con coeficientes racionales, son numerables: o sea, la mayoría de los números irracionales que conocemos son numerables, por ser raíces enésimas de algún otro número. Pero eso significa que “casi todos los demás”, todos los que “completan” el continuo, y a esto iremos después, ni siquiera son números algebraicos, sino números trascendentes. Lo sorprendente es que hay infinitas veces más números trascendentes que números algebraicos, lo cual ya nos dice algo acerca de la extrañeza que implica la formalización de unos números de los cuales la mayoría nos son completamente ajenos: todos los números que “conocemos” suponen una cantidad absolutamente despreciable frente a los que no.
Esto, que hoy día asumimos como relativamente familiar, supuso una verdadera revolución en nuestra comprensión de lo que significaba “ser un número”: hasta entonces, el estatus de número quedaba reservado a cantidades que surgieran de construcciones algebraicas. La existencia de algún número trascendente no se demostró hasta 1844, teniendo que esperarse 7 años más a que Liouville, quien lo había pobrado, mostrara algunos ejemplos. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, el número de Euler, en 1873. Una década más tarde se demostró que π también lo era. Cantor mostró independientemente la completa ubicuidad de los trascendentes en la recta real: a partir de entonces, si había alguna forma de definir algo como número, ya no dependía de ninguna operación algebraica, sino que era necesario, o pasar al límite, o representarnos mentalmente al número como una distancia continua al origen, resultando la dificultad de combinar esta noción con la que poseemos del conjunto discreto de los algebraicos. Como explica David Bressoud en su libro A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration: “La complejidad de los números reales surge de la superposición de dos conjuntos de patrones: la geometría de lineas y distancias por un lado, y la experiencia de números discretos por el otro. Este es un modelo común de creación matemática. Hay patrones que surgen en un contexto y que se reconoce que comparten atributos con otros de una géneses muy distinta. Cuando superponemos estos patrones y se unen los puntos de concordancia, emerge una nueva imagen. El milagro de las matemáticas reside en el hecho de que esta creación artificial no parece ser arbitraria. Repetidamente a lo largo de la historia de las matemáticas, esta superposición de modelos ha dado lugar a perspectivas útiles. Bajo la expresión de Wigner, somos privilegiados de poder ser testigos de la irrazonable eficacia de las matemáticas. Hemos sacado provecho de algo que sí parece tener una realidad más allá de las construcciones con las que empezamos. Que implique sutilezas inesperadas no debería sorprendernos”.
Vale, sí, pero ¿cómo se ha completado el continuo, entonces? Cojamos un caso de un número que “conocemos” y que es trascendente para ilustrar el caso de todos los demás. Evidentemente el razonamiento es válido también para los algebraicos. Cuando decimos Pi=3,141… en realidad estamos haciendo uso de una particular forma de la manera en que Cantor planteó cómo definir cada uno de los números reales. Al decir Pi vale 3,141… no hemos en absoluto especificado la localización de pi en la recta real: no sabemos nada acerca del número que viene detrás del 1. Pero es que aunque diéramos diez mil trillones de decimales de pi, seguiríamos sin tener ni idea acerca de qué número sigue inmediatamente: ¡hay infinitos números más que empiezan exactamente con los mismos decimales! Lo que sí implica decir que Pi = 3,141… es que existe una sucesión de números racionales 3; 3,1;3,14;3,141… tal que, a partir de cierto número, cualquier número de esta sucesión podrá estar dentro de cualquier abierto que digamos que contiene a pi. Es decir: no hablamos del valor de pi, hablamos de su existencia. La construcción de los reales es ante todo una formalización de la existencia de números que pueden completar la noción de continuo que requerimos para la correcta comprensión del análisis.
Acabamos de ofrecer una de las posible maneras de situar a cualquier real en función de los racionales que tiene a su alrededor: por medio de sucesiones de Cauchy convergentes. Pero hay formas alternativas de asegurar la existencia de ese número. La más célebre es la construcción de Dedekind, que procede por cortaduras. Efectivamente, hay formas de dividir en dos conjuntos a todos los números racionales, de manera que entre ellos no haya un número en concreto que satisfaga que es el supremo de uno de los conjuntos y el ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) del otro. Para que exista tal supremo y tal ínfimo, que coinciden, ha de postularse la existencia de los números irracionales, ergo de los números reales. Este es el llamado principio de las cortaduras de Dedekind, que formalmente axiomatiza a los números reales partiendo de la idea de que si tenemos una cortadura formada por los conjuntos A y B, cuya unión es R, que son no vacíos, y que para todo a de A se tiene que cualquier b de B es mayor, entonces existe un número (real, pues los racionales podrían no cumplirlo por lo que acabamos de decir), tal que para todo número mayor que él, ese número está en B, y si es menor, está en A. De nuevo, es un axioma que garantiza la existencia de tal número, y es completamente equivalente al axioma del supremo que antes expliqué que utilizó mi profesor de segundo de Bachillerato. También dije que era válido el llamado principio de los intervalos cerrados encajados de Cantor, es decir, que si tenemos una sucesión de intervalos cerrados y contenidos el siguiente en el anterior, la intersección de todos ellos es un único punto siempre que la longitud de los intervalos tienda a ser nula. De nuevo, esto no se cumple en los racionales.
En función de si tomamos uno u otro de estos enunciados como axiomas, los demás serán teoremas. Por ejemplo, si tomamos el axioma del supremo, el principio de cortaduras de Dedekind pasa a ser un teorema, y lo mismo se aplicará al ahora teorema de los intervalos encajados de Cantor. Y esto análogamente si utilizamos la completitud definida por el hecho de que toda sucesión de Cauchy converja en el conjunto. La cuestión es que todos estos enunciados son completamente equivalentes a la hora de definir a cada uno de los reales. Weierstrass, por ejemplo, usó series. ¡Pues perfecto!
Para rematar este punto, hay que decir que un par de enunciados usualmente desarrollados como teoremas, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel, también son posibles formas de axiomatizar a los reales. El primero nos dice que toda sucesión real acotada posee una subsucesión convergente. Una forma equivalente de formularlo es decir que todo conjunto infinito pero acotado posee al menos un punto de acumulación, es decir, al menos un punto que no es aislado: un punto tal que para todo abierto que cojamos y que lo contenga, posee más elementos del conjunto. Evidentemente no voy a demostrar la equivalencia con los otros enfoques, pero solo fijémonos en que si se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sucesión de Cauchy tiene que tener un punto límite. En cuanto al teorema de Heine-Borel, tan importante para la teoría de la medida, si bien requeriríamos de unos mínimos conocimientos de topología para comprenderlo, diré por hoy simplemente que es equivalente al de Bolzano-Weierstrass, luego otra forma completamente equivalente de caracterizar la completitud de los reales, cuya tabla terminamos así, valga la redundancia, de completar.
Está claro que no podemos dejar las cosas de este modo, ni con respecto al teorema de Heine-Borel ni con respecto a nuestra comprensión de los reales. Acabo de mencionar la “teoría de la medida”, continuación inevitable de la cuestión que nos planteábamos antes acerca de cómo medir el tamaño de un conjunto, y que surgió de forma orgánica una vez formalizado el conjunto de los números reales. Si la teoría primaria de la medida entró en crisis por la aparición de las magnitudes inconmensurables, los irracionales, y tardó más de dos mil años en resolverse gracias a un entendimiento cada vez más profundo de los irracionales, este entendimiento trajo el problema de cómo medir conjuntos.
Dijimos antes que la completitud de un conjunto poco tenía que ver con si era o no denso: si un conjunto es denso, puede ser sin embargo lo suficientemente disperso como para no ser completo. De igual manera, un conjunto no numerable, como los irracionales, tampoco es lo suficientemente poco disperso como para garantizar el continuo, aun siendo, también, denso. Por otro lado, la discusión que invitó a Cantor a introducirse en el mundo de los conjuntos, la convergencia de series de Fourier y la integrabilidad de funciones discontinuas en conjuntos extraños e infinitos, permitió el desarrollo de otra forma de “medir” lo grande que es un conjunto: tomando intervalos, y asignándoles como medida su longitud, y tomando después abiertos, que son uniones de intervalos, era posible a cada conjunto asignarle una medida “exterior”, a saber, el ínfimo de la medida de los abiertos que lo contenían. Gracias a este concepto podía estudiarse la integrabilidad con una herramienta más potente, hasta el punto de que la propia integral de Riemann quedó desfasada en pro de un enfoque mucho más conjuntista, que permitía una comprensión cada vez mayor de los subconjuntos “extraños” de los reales, que tanto interesaron en el estudio del análisis a lo largo del siglo XIX.
La meticulosidad requería del formalismo matemático más que nunca antes en su historia. Para hacernos una idea del lío que podríamos hacernos de lo contrario, resulta que, encima de haber conjuntos que no eran medibles en cierto sentido, resultaba que los otros criterios de densidad y cardinalidad, así como el de la cantidad de elementos aislados, eran también incomparables a esta forma de medición. Por ejemplo, hay conjuntos no numerables o densos de medida nula; incluso, hay conjuntos sin puntos aislados, que no son densos en ningún abierto, y que sin embargo son no numerables y tienen medida tan grande como el intervalo continuo que los contiene. Todo esto supone un caos que solo quedó aclarado, por un lado, merced a una comprensión creciente de la densidad y los puntos de acumulación con el comienzo de la topología; por el otro, de la cardinalidad gracias a los estudios de Cantor sobre números transfinitos; y, finalmente, de la teoría de la medida, gracias a Jordan, Borel, Lebesgue, y otros tantos.
La verdad es que todo esto requiere de explicaciones de mayor precisión, que sin embargo van más allá de este vídeo. Sin duda se nos han quedado muchas cosas en el tintero, y el asunto de la medida tendrá que tratarse individualmente en algún otro momento. Además, como habréis notado, esto ha sido una aproximación ante todo histórica, que no filosófica, al asunto de los números reales, de manera que, si a alguien le interesa, puedo explorar también esa dimensión de forma más detallada en otro momento. Al menos, espero haber dejado claro que el tema de los reales va muchísimo más allá de lo que a uno le puedan decir en la secundaria, y que su estudio fue indisociable del acometido por el análisis a lo largo del siglo XIX, cuando no todavía más, en el XX, del de las ramas que nacieron a partir de su discusión.
Bibliografía recomendada:
Ifrah, G. (2000). The universal history of numbers: From prehistory to the invention of the computer. Wiley.
Joseph, G. G. (2011). The crest of the peacock: Non-European roots of mathematics (3rd ed.). Princeton University Press.
Kline, M. (1990). Mathematical thought from ancient to modern times: Volume 1. Oxford University Press.
Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics (3rd ed.). Wiley.
Reseña de Joseph Dauben sobre The Universal History of Numbers and The Universal History of Computing en la American Mathematical Society: https://www.ams.org/notices/200201/rev-dauben.pdf
Serie introductoria a la antropología por parte de Carlos Fernández Liria: https://youtube.com/playlist?list=PLzPA32XHOskbE-_2IJadnKyaK3ZsF-cGd&si=hYBFVaEHoO0xvSLf
