INTRODUCCIÓN
Si hay algo de las matemáticas, y de la ciencia en general, que vez tras vez, año tras año, no deja de sorprenderme, es la fascinante habilidad que la mente humana tiene de inducir, a partir de fenómenos ultra concretos, explicaciones universales, que, a su vez, invitan a explorar fenómenos aún más concretos, en campos que ni siquiera existían; ese paso de la deducción a la inducción, y viceversa, sin la cual el ser humano no sería nada. Ese poder reluce con enorme brillo, o al menos así me lo parece a mí, en el caso de la teoría que hot vamos a discutir. Vamos allá.
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Definir la medida de las cosas no es algo tan sencillo como pudiera parecer, ni algo despreciable, habida cuenta de que la base de la ciencia siempre es medir, antes de teorizar… Cuando nuestra idea de medida debe ser congruente tanto con la medición de magnitudes físicas, como con la de la probabilidad de que algo suceda, como con las que hemos ido desarrollando para problemas concretos de la ingeniería, por ejemplo, la longitud de una curva… y cuando además esta medida debe incluir bajo su paraguas una modelización de todo lo infinitesimal y lo infinito (porque cualquier conjunto de medida que tengamos en cuenta que posea en sí el carácter de lo continuo va a tener que jugar indefectiblemente tanto como lo infinitamente pequeño, lo cercano a cero, como con lo infinitamente grande), nos damos cuenta de que, como es lógico, no todo vale, y de hecho, si algo vale, es porque a algunos se les vino la idea cómo construir una medida coherente con todos esos problemas de forma simultánea.
El señor del que hoy hablaremos es de Henri Leon Lebesgue.
Obviamente, ni está solo, ni su aportación hubiera sido posible sin todos los que le precedieron, y para ello tenéis el primer vídeo de esta pequeña serie que estamos dedicando a la teoría de la medida (FOTO), el cual os recomiendo totalmente si no lo habéis visto, aunque a pocas nociones de análisis que tengáis supongo que ya os defenderéis en este vídeo. Aun así, aunque sin ese contexto este vídeo no es lo mismo, si queréis podéis tirar para adelante igual, elección vuestra.
BOREL Y JORDAN: DOS ENFOQUES UNIFICABLES
La teoría de la medida, como espero haber resumido bien en aquel vídeo, tiene su nacimiento en la búsqueda práctica de cómo hacer un uso más eficiente de la integral. El estudio de funciones patológicas o conjuntos patológicos sobre los que las funciones pudieran estar definidas generó toda una reflexión en torno a qué significaba que un conjunto fuera grande o pequeño frente a otro. Como vimos, esto derivó en el nacimiento de ramas de la topología y de la teoría de conjuntos, legando en última instancia al enfoque que Borel tenía de la medida, construida de manera axiomática y no muy ligada a la integración.
Y, por otro lado, hay que recordar que la integral es una forma de medición, pues no supone más que ponderar sobre una determinada área; la cuestión es si hay áreas que ser despreciadas que permitieran la correcta definición de la medida a que daba lugar la integral misma. El enfoque que ligaba integral con medida geométrica fue aquel por el que optó Jordan.
En los números reales, y en Rn, dado su carácter de continuo, del que hablamos en el vídeo “Pero y qué hace reales a los números reales”, la forma intuitiva de medición se corresponde con la de los intervalos; es por eso que tanto para Borel como para Jordan, como vimos, la medición natural de un conjunto dado era aproximarlo por intervalos, y, si eran conjuntos no conexos, por uniones disjuntas de intervalos.
Jordan definió el contenido exterior de un conjunto por el ínfimo de los volúmenes de las uniones finitas de intervalos que contenían a un conjunto, una medición exterior porque se realiza desde afuera, los intervalos que lo recubren.
(Un inciso, a lo largo de este vídeo os iré poniendo la definición formal de algunos conceptos con los que iremos trabajando. Me gustaría que aquellos que no tengan muy claro el formalismo matemático no se preocupen, porque no es necesario para la historia que hoy os voy a contar; simplemente quería ponerlo para quienes sí tienen ese bagaje).
Este contenido exterior tenía una propiedad muy interesante, y es que cualquier conjunto acotado tiene bien definido el contenido exterior. Weierstrass, de hecho, definió el valor de la integral sobre un área como su contenido exterior, y eso le permitía que cualquier conjunto acotado fuera integrable.
Esto no lo cumplía por ejemplo la integral de Riemann. Pero, como también veíamos en el vídeo anterior, el problema del contenido exterior es que no es aditivo, es decir, que si tienes dos conjuntos disjuntos, por ejemplo, los racionales del intervalo 0,1 y los irracionales del intervalo 0,1, su unión, que es el 0,1, que tiene medida 1, debería coincidir con la suma de los irracionales mas la de los racionales. Pero no, porque tanto el contenido exterior de los racionales como de los irracionales en el 0,1 es 1, porque ninguna unión finita de intervalos que contenga a esos conjuntos menor que el propio 0,1.
Así que tenemos una medida que vale para todo conjunto acotado, pero sin embargo no cumple algo que sin duda debería cumplir cualquier medida. Una ventaja a cambio un problema.
Vale, pero entonces podemos ver qué fue lo que hizo Borel, quizás funcione mejor. Pues bueno, como espero haber demostrado en el vídeo anterior, su gran acierto es la construcción de lo que luego se dará en llamar sigma-álgebra.
Borel toma, en lugar de uniones finitas de intervalos, uniones numerables de intervalos, lo cual se demostrará fundamental posteriormente. Él define la medida del intervalo como su volumen, y luego establece que cualquier unión de intervalos disjuntos será la suma de las medidas de esos intervalos; vamos, que establece como axioma la aditividad, justo lo que Jordan no cumplía. El enfoque es realmente muy bueno, porque cualquier abierto se puede construir a partir de uniones numerables de intervalos, y porque si uno establece el axioma de la aditividad, entonces el complementario de un conjunto, al ser el total medible por ser un intervalo, es también medible; y por tanto también los cerrados serán medibles, y todas las uniones e intersecciones de cerrados y abiertos. Se construye así toda una clase de conjuntos, que conforman la sigma-álgebra de los borelianos, que son los conjuntos con los que más frecuentemente trabajamos; por ejemplo, en probabilidad y estadística una variable aleatoria se define justamente a partir de si es una función medible Borel. Esto lo tocaremos un poquito después.
Ahora bien, no es oro todo lo que reluce. Y es que hemos adoptado un enfoque constructivo, hemos declarado qué conjuntos podemos medir, que serán la sigma-álgebra de los borelianos, pero acerca de los demás no hemos dicho nada. Y resulta que los demás, aunque sean conjuntos raros, son la inmensa mayoría de conjuntos. Casi todos los conjuntos que existen no son borelianos; de hecho, existen muchos más conjuntos con contenido exterior que medibles Borel. De nuevo, una ventaja, con un problema.
MEDIDA EN ABIERTOS Y MEDIDA EXTERIOR
Y es aquí donde entra Lebesgue, ya por fin. Lebesgue toma lo mejor de ambos mundos. Toma lo bueno del enfoque constructivo de Borel, así como la noción crucial de que uniones numerables de medibles sigan siendo medibles, pero también adopta en cierto sentido la generalidad de Jordan, llevándola incluso más allá, e interpreta el problema de la medida como un problema análogo al de la integración, como también había hecho Jordan, a diferencia de Borel.
Vamos por partes. En primer lugar, Lebesgue reafirma la idea de que los intervalos son la mejor forma de construir una medida en R y en Rn; en eso está de acuerdo con ambos. Sin embargo, el potencial abstracto de esta construcción podrá ir mucho más allá.
En R, cualquier abierto, como hemos dicho, es unión numerable de intervalos disjuntos, de manera que todos los abiertos son medibles. Si en un espacio abstracto donde hay definidos abiertos, es decir, un espacio topológico, no hay definidos intervalos, pero queremos generar una medida, no tenemos sino que partir de los abiertos, por ejemplo. Esta ya es la primera generalización de espacio medible a lugares que van mucho más allá de nuestra geometría habitual. A esto también volveremos más tarde.
Como lo mismo da hablar de abiertos que de uniones numerables de intervalos, porque siempre podemos construir un abierto de esa forma, a partir de ahora hablaremos de los abiertos como de los eslabones sobre los que se construye toda la teoría de integración de Lebesgue.
Pero he aquí donde por un momento se rompe el orden natural de la construcción de Borel: en lugar de hacerle perrerías de sigma-álgebra a los abiertos, interseccionarlos, hacerles complementos, etc., Lebesgue decide tomar el camino de Jordan. En vez de definir el contenido exterior de un conjunto, como hizo este, por el ínfimo de los volúmenes de las uniones finitas de intervalos, Lebesgue define la medida exterior de un conjunto por el ínfimo de los volúmenes de las uniones numerables de intervalos, o lo que es lo mismo, por el ínfimo de la medida de los abiertos.
Es decir, si quieres definir la medida exterior de un conjunto, coge a todos los abiertos que lo contienen, y toma el más pequeño de todos; la medida de ese será la medida exterior del conjunto.
El contenido exterior de Jordan existía para cualquier conjunto acotado; pues bien, la medida exterior de Lebesgue, que es igual, pero añadiendo esa componente de numerabilidad, ¡existe para cualquier subconjunto de R! Es decir, de un plumazo hemos asociado a todo subconjunto de R una medida, una medida exterior. ¿Pero sabéis qué? Que el mismo problema que tenía el contenido exterior de Jordan lo tiene la medida exterior de Lebesgue. Y es que, de nuevo, al igual que ocurría entonces, la medida exterior de Lebesgue no es aditiva sobre una unión numerable de conjuntos disjuntos (a esto se le llama sigma-aditividad, a todo le mete uno aquí el prefijo sigma); uno puede coger dos conjuntos con medidas exteriores, sumarlos, y que la suma no dé la medida exterior de la unión.
Sin embargo, Lebesgue, si bien no encontró una solución sistemática a esto, sí encontró una solución que de facto es totalmente funcional. Pero, antes, debemos regresar a algo de lo que también hablamos en el vídeo previo: el aporte de Peano.
PEANO Y LA MEDIDA DE JORDAN
Uno puede preguntarse en qué casos funciona bien el contenido exterior de Jordan. Peano descubrió que el contenido exterior de Jordan coincidía con la integral superior de Darboux, que siempre existe en una región acotada, y que si definía un contenido interior de manera análoga, es decir, de forma que se tomara el supremo de las uniones disjuntas de intervalos contenidos en el conjunto dado, esta coincidiría con la integral inferior de Darboux. Sabemos que una función es integrable Riemann cuando la integral inferior y superior de Darboux coinciden; en ese caso la medida de un área acotada está bien definida en el sentido de Riemann. Pues bien, Peano llamó precisamente medibles Jordan a aquellos conjuntos donde el contenido exterior e interior coincidieran, o lo que es lo mismo, aquellos conjuntos cuya frontera no fuera demasiado dispersa.
En el caso de los racionales, la frontera es totalmente dispersa, el contenido interior es cero, y el exterior es uno, por tanto no es Jordan medible, y análogamente los racionales no son integrales Riemann, es decir, la función de Dirichlet, que es la función que asigna 1 a los racionales y cero a los irracionales en un conjuntado dado, no es integrable Riemann.
Si alguien se ha perdido un poco en este último asunto, no importa, con lo único que tenéis que quedaros es que la coincidencia de las medidas interior y exterior pueden ser la clave de que un conjunto sea o no medible, y cuando un conjunto es medible, va a verificar que es aditivo; el problema con los racionales para el contenido exterior de Jordan es que no son Jordan medibles, por tanto al hacer cosas con su medida exterior, esta se comporta de formas inesperadas. Pero si trabajáramos con conjuntos medibles Jordan, el contenido exterior coincidiría con la medida de Jordan, y la propiedad de la aditividad sí funcionaría.
LA SIGMA-ADITIVIDAD: LA CONDICIÓN DE LOS MEDIBLES
Y aquí es donde Lebesgue entiende que basta con restringir la medida exterior que ya ha definido a aquellos conjuntos que va a llamar medibles, pero que con un excelente criterio no va a asumir que son los que construyó Borel, sino que son muchísimos más. Para eso, se vale de la definición que Peano dio de medible Jordan, y construye su idea de lo que debe ser un medible Lebesgue.
Un medible Lebesgue es aquel conjunto que verifica que su medida exterior, la que definimos con el ínfimo de los abiertos que contenían al conjunto, coincide con la medida interior, que vamos a definir como el supremo de los cerrados que están contenidos en el conjunto. Si coinciden, el conjunto será medible, y cumplirá la tan ansiada sigma-aditividad, de la que, por cierto, se deducen todas y cada una de las propiedades esperables para una medida.
Esto es una afirmación muy fuerte: para que una medida positiva cumpla todo lo que esperamos que cumpla, solo hay que asumirle dos condiciones, la primera, que el conjunto vacío tenga medida cero, y, la segunda, que se verifique que para la unión numerable de conjuntos disjuntos medibles, la unión sea medible con medida la suma de cada uno de esos conjuntos.
Borel, por construcción, ya había definido una sigma-álgebra donde la medida tenía sentido, es decir, donde se cumplía la sigma-aditividad; como la construcción de Lebesgue incluye dentro de sí a todos los conjuntos Borel, la cuestión es ver si hay conjuntos no borelianos que sean medibles Lebesgue. Pues bien, no solo existen, sino que son infinitas veces más que los borelianos.
Este es un punto sorprendente, o siempre me lo parece a mí. Siempre pongo el mismo ejemplo: imaginen que pueden escoger un número real al azar. La probabilidad de que el número que escojan sea racional es cero. Por su sesgo de humanos, lo más probable es que ustedes, precisamente, escojan un número racional, pero desde un punto de vista teórico, como los racionales son un cero a la izquierda frente a los irracionales, el 100% de la probabilidad es de que ustedes cogerían un irracional. Pues, análogamente, con un 100% de la probabilidad en el juego de escoger subconjuntos de R se escogería uno que no es boreliano.
La forma clásica de demostrarlo es pensando en el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor es un conjunto que es medible Borel y medible Lebesgue, con la particularidad de que, aun siendo no numerable, es de medida cero. Pues bien, cualquier subconjunto del conjunto de Cantor es de medida cero, por tanto, medible, y, sin embargo, pensad en cuántos subconjuntos tiene el conjunto de Cantor, si es un conjunto no numerable… Pues sí, el mismo número de subconjuntos que tiene R. O sea, el cardinal de los medibles Lebesgue es el mismo que el de las partes de R, que es una barbaridad. Los borelianos, en cambio, se puede demostrar que tienen la cardinalidad de R, solamente, porque se puede construir a partir de intervalos de extremos racionales, que son numerables, y hacerle operaciones numerables. Vamos, que la cantidad de medibles Borel frente a medibles Lebesgue es despreciable, y eso que es difícil pensar en un conjunto medible Lebesgue que no sea medible Borel.
La cosa es que Lebesgue es capaz de ofrecer una definición concreta de qué debe hacer que un conjunto sea medible, y es básicamente que debe cumplir la propiedad de aditividad frente a cualquier otro conjunto que exista. La abstracción de esto dará lugar a ideas muy muy interesantes, como veremos después.
Es demostrable, sin embargo, que a pesar de todo lo que acabo de contar de la escasez de los borelianos, en cierto sentido son densos, igual que los racionales, porque cualquier conjunto medible Lebesgue es infinitamente cercano a un boreliano, a la manera como entre dos irracionales siempre hay un racional. De hecho, se dice que la medida de Lebesgue es una medida completa porque cualquier conjunto de medida cero es medible, y precisamente eso permite que los medibles Lebesgue son la “completitud” de los medibles Borel, a la manera como los reales completan a los racionales debido al axioma de completitud. Este es un tema muy apasionante, del que en su segunda vertiente hablamos largo y tendido en el vídeo sobre los números reales mencionado.
LOS NO MEDIBLES
En todo caso, Lebesgue dejó la puerta abierta a que hubiera conjuntos no medibles, pero tampoco se casó con la idea de que así fuera. De hecho, cuando en 1905 Giuseppe Vitali demostró la existencia de conjuntos no medibles, eso sí, haciendo uso de un principio no demostrable, un axioma, el axioma de elección, Lebesgue fue muy escéptico, precisamente por el uso de ese axioma, aunque a la larga su adopción dio lugar a la aceptación de la existencia de estos conjuntos, por otro lado, indemostrable sin la apelación a dicho axioma.
La cuestión de si aceptar o no el axioma de elección y a qué da lugar la teorización sobre conjuntos no medibles abre todo un campo donde aparecen algunas de las paradojas más bellas de las matemáticas, como aquella con la que comienzo el vídeo anterior a este a manera de boutade introductoria para engendrar el interés por la teoría de la medida: la de que reensamblando un guisante solo con movimientos rígidos uno puede construir el sol. Estos son temas muy interesantes que discutir en el futuro, pero ahora mismo me parece más conveniente cimentar bien antes cuál es el potencial de la teoría de la medida sin irme a casos tan extravagantes. De todas formas, si os interesa, estaré a bien meterme en esos berenjenales.
LA EQUIVALENCIA INTEGRAL-MEDIDA EN RIEMANN Y LEBESGUE
En todo esto, hemos dejado muy de lado el asunto de la integral, que es en última instancia el motivo por el que nació todo este interés en medir conjuntos, tanto topológicamente como su “volumen”. Lebesgue tuvo completamente claro el concepto de que esto tendría una aplicación masiva en la teoría de la integración, incluso antes de que se formulasen algunos de los teoremas que realmente hacen a la integral de Lebesgue más útil frente a la de Riemann. Todo se basa en la intuición de que existe una equivalencia biunívoca entre teoría de la medida y teoría del cálculo integral.
Si bien la definición de medibilidad Lebesgue no es totalmente constructiva como la de Borel, una vez asumida la medibilidad de un conjunto dado, la definición de la integral de Lebesgue sí que es constructiva, de cabo a rabo, además. Si os acordáis, Weierstrass había definido la integral en un área dada por el grafo de una función positiva y el eje de abscisas, por la medida de ese recinto. La definición de integral era, directamente, el área. Pues bien, Lebesgue va a hacer lo mismo, pero con los retoques pertinentes que ya había efectuado a la hora de teorizar su medida.
En primer lugar, la integral debía ser aditiva, no como la integral de Weierstrass, así que no podríamos integrar sobre recintos meramente medibles exteriormente, que son todos, sino que deben ser completamente medibles.
Hasta aquí no hay una diferencia con respecto a la integral de Riemann, porque, aunque este no lo supiera, su integral era el reflejo analítico de lo que Peano dio en llamar, desde su enfoque geométrico, medida de Jordan. Ahora bien, Lebesgue, evidentemente, hará uso de su propia medida, que es mucho más general que la de Jordan por incluir el elemento de uniones infinitas numerables frente a las meramente finitas de Jordan. Y esto es un cambio de paradigma completo, porque los límites siempre juegan en el rango de lo infinito, y el problema de la integral de la Riemann es que se comportaba fatal con los límites, o al menos había que pedirle condiciones nada intuitivas y muy fuertes. Hacer avanzar así la teoría de series de Fourier, por ejemplo, que fue la que invitó al propio Riemann a proponer su integral, era un verdadero quebradero de cabeza.
Pues bien, Lebesgue incorporaba desde el comienzo mismo en su construcción la posibilidad de trabajar con conjuntos construidos a partir de límites; una unión numerable, por ejemplo, es el límite de la unión de una sucesión de conjuntos. La numerabilidad extiende la finitud al límite, y como la medida en cierto sentido va a ser continua, va a poder jugar bien con esa noción de límite.
Continuidad en una función quiere decir que puedas meter o sacar el límite de la función a placer; si la medida va a ser en cierto sentido continua, y la medida va a ser equivalente a una integral, parece que habremos al fin logrado conmutar la integral con los límites, lo cual es muy importante para demostrar resultados fundamentales de las matemáticas, que hasta entonces vivían en un limbo de principios, y también permitirá relajar condiciones en muchas ramas del análisis. Por eso va a ser necesario comprender de qué tipo de continuidad hablamos, y previamente, cuál es la relación exactamente entre medida e integral.
Hemos dicho que, para Lebesgue, la integral va a definirse a partir de la medida. Vamos a explicar cómo: Imaginemos una función f definida sobre R tal que en un conjunto medible A su valor es 1, y fuera es cero, la función característica de A, vamos. Se define la integral de Lebesgue de la función f sobre R como la medida de A. Como integrar es ponderar sobre un cierto recinto con una mayor o menor intensidad, y aquí ponderamos a todos los puntos de A como 1, tiene sentido que definamos la integral de f, que es la función característica de A, como la medida de A.
Podemos repetir este proceso cogiendo una unión de conjuntos disjuntos, ponle que un número finito de ellos. Por ser sigma aditiva la medida de Lebesgue, la integral va a ser la suma de las medidas. Pero uno podría ponderar cada uno de estas áreas en una cierta cantidad. Imaginemos que el recinto A1 queremos que pese menos que el recinto A2, entonces podemos multiplicar cada una de las funciones características por una cierta ponderación. La suma será una función que se dice simple, porque su rango tiene un número finito de valores.
Cada uno de los valores tiene una preimagen que es un conjunto medible, y cuando esto es así para una función, se dirá que es medible.
Aunque no parezca obvio, lo que acaba de hacerse es justamente aquello en lo que consiste la integral de Riemann, pero en un caso más general. Cuando un recinto “se aproxima bien” por una unión finita de intervalos es cuando la medida de Jordan existe, y la función que define ese recinto es integrable Riemann.
O uno también puede verlo como que la integral de Riemann asume que todas las funciones son bien aproximables por funciones simples definidas en conjuntos medibles Jordan. Es decir, la hipótesis de Riemann descansa en que, en una función integrable, para toda unión finita de intervalos, y conjuntos muy cercanos a ellos, la función toma en el límite un único valor. Esto coincide con la noción que tenemos de que la integral de Riemann es ir sumando rectángulos a cada paso que damos, a excepción de unos pocos puntos de discontinuidad, que tiene ser de contenido exterior cero. Si no fuera de contenido exterior cero, habría todo un recinto donde la función no sería aproximable por una función simple de antiimagen medible Jordan, que es justo lo que le ocurre a la función de Dirichlet.
El verdadero “bombazo” de Lebesgue es que extiende esta lógica a medibles Lebesgue, que son muchísimo más generales que los medibles Jordan, precisamente porque incluyen la idea de unión numerable, que es lo mismo que hacer el límite a la idea de Jordan. En vez de trocear el dominio en intervalos, si uno lo trocea en conjuntos medibles generales, que son el límite de uniones de intervalos, uno va a poder integrar muchos más recintos. Para ello nos fijamos en el rango de valores de la función, y para cada uno de ellos vemos su antiimagen, que es medible por serlo la función, y troceamos de esa forma el dominio. Es por eso que a menudo se habla de que la integral de Lebesgue es un troceo del rango en lugar del dominio, aunque a mí no me gusta demasiado verlo así.
Espero que esto no os haya resultado confuso, pero si es así, esperad un segundo porque vamos a verlo con ese ejemplo de Dirichlet.
Una vez definida una función medible, se puede demostrar que el límite de funciones simples siempre es medible, y también el recíproco, que toda función medible es límite de funciones simples medibles.
Si las funciones simples aproximaban bien cualquier recinto descrito por una función integrable Riemann, con este nuevo paso vamos a conseguir que el límite de funciones simples aproxime bien cualquier recinto descrito por una función integrable Lebesgue.
Volvamos una vez más a nuestro ejemplo clásico de la función de Dirichlet, la función característica de los racionales en el [0,1]. Esta función no es Riemann integrable porque el contenido interior de los racionales en este intervalo es cero, y el exterior es uno. Esto quiere decir que cualquier función simple definida en un conjunto medible Jordan que imaginemos que aproxima a los racionales por defecto va a ser la idénticamente nula, y cualquiera que la aproxime por encima va a ser idénticamente uno. También podéis verlo como el conjunto de discontinuidades de la función de Dirichlet, que es todo 0,1, tiene contenido exterior mayor que cero, es decir, en ningún punto puede uno aproximar bien la función de Dirichlet por una función simple en el sentido de Jordan.
En cambio, en el caso de Lebesgue, los racionales son unión numerable de conjuntos medibles Lebesgue, los unitarios racionales, que tienen medida cero, porque podemos encerrarlos con un abierto de una medida arbitrariamente pequeña. Por tanto, los racionales en sí tienen medida cero. Uno puede construir la función simple que vale uno en los racionales, y cero en los irracionales, y la integral evidentemente es cero por ser la medida de los racionales cero. Pero uno lo podría haber visto como que la función de Dirichlet es límite de funciones simples medibles Jordan: en vez de tomar un número finito de intervalos que encierren a los racionales, lo llevamos al límite numerable y permitimos que por cada racional haya un intervalo todo lo pequeño que queramos que lo incluya: ahí lo tenéis, integral Lebesgue cero.
POSITIVIDAD, INTEGRABILIDAD Y LÍMITES
Con lo anterior espero haber aclarado cómo la integral de una función característica y la medida de su conjunto preimagen son dos caras de una misma moneda. Como hemos dicho, entender la medida ahora nos va a permitir extrapolar muchos de los comportamientos de ese objeto matemático al mundo del cálculo integral. En el caso de las funciones simples, como os he comentado, la linealidad que uno le asume a la integral traslada esas propiedades de la medida a la integral, pero es en el momento en que podemos empezar a hablar del límite de funciones simples cuando esto se pone interesante.
Sin embargo, hay algo importante que aclarar. La medida de Lebesgue siempre es positiva, y una integral en principio no lo es. Si uno sobrepondera negativamente la medida de unos conjuntos frente a otros, la integral le puede salir negativa. En ese momento algunas de las propiedades que esperamos que se cumplan pueden romperse, así que Lebesgue tiene el acierto de ceñirse por un momento a funciones positivas, que van a poder preservar mucho mejor ciertas propiedades de la medida.
Y aquí entra en juego aquello que antes os mencioné de que hay un cierto sentido en el cual la medida de Lebesgue es continua; recordad que de la sigma-aditividad se podía deducir todo aquello que esperablemente debe cumplir una medida positiva. Pues bien, hay formas equivalentes de declarar esa propiedad, y una de ellas es mediante la continuidad de la medida en sucesiones monótonas de conjuntos, es decir, si tiene uno una sucesión de conjuntos por ejemplo crecientes, su límite va a ser la unión de esos conjuntos; si uno puede gracias a la sigma aditividad que el límite de esa sucesión de conjuntos va a tener como medida el límite de las medidas de cada uno de sus conjuntos, y también al revés, cosa que se puede demostrar, uno tiene una caracterización alternativa de una medida positiva, que es muy útil, por ejemplo, a la hora de integrar. Y es que imaginemos que tenemos una sucesión de funciones positivas y crecientes que convergen a una función; en el caso de Riemann, no necesariamente, pero en el caso de Lebesgue tenemos un teorema, el teorema de la convergencia monótona, que nos permite intercambiar el orden de los límites por el mismo motivo por el que podemos hacerlo con la medida, precisamente porque esas funciones positivas describen recintos cada vez mayores, y su unión es el recinto definido por la función final.
Esto no se cumple con sucesiones de funciones en general, que no sean monótonas, y tampoco se cumple si no son todas positivas, porque no podríamos hacer esta analogía con la continuidad monótona de la medida, pero aun así tiene una aplicación brutal a series positivas, sumas infinitas de funciones, porque uno se puede imaginar una serie positiva como una sucesión de funciones crecientes llevada al límite; este se conoce como el teorema de Beppo-Levi, y también es muy potente.
En un caso más general, no necesariamente ciñéndonos a funciones positivas, también hay resultados muy interesantes si uno pide ciertos criterios de acotación, de ahí aflora el teorema de la convergencia dominada, pero me parece que esto ya se va alejando cada vez más de la motivación concreta de este vídeo, que es explorar bien el tema de la medida, y ahí todavía hay muchísimo que rasgar.
EL ALCANCE ABSTRACTO: DE CARATHEODORY A KOLMOGOROV
Espero haber dado una primera intuición de la importancia del enfoque de Lebesgue, especialmente como conciliador de las mejores ideas de Borel y de Jordan, y la capacidad de combinar lo constructivo con lo axiomático.
También espero haber transmitido correctamente por qué siguió el camino que siguió a la hora de construir su integral, y por qué demuestra una intuición geométrica mucho más fina que la de sus antecesores, aunque terminando por abstraerla enormemente hasta el punto de que todo se confunde en un juego puramente funcional. No obstante, aún quiero profundizar en el alcance de sus ideas, precisamente esa belleza de la inducción humana de la que os hablaba al principio, y para ello vamos a tratar varios puntos.
En primer lugar, su acierto a la hora de partir de la medida exterior, definida previamente por lo que podríamos llamar una “premedida”, el volumen de los intervalos, y restringirla a un cierto tipo de conjuntos, básicamente, todos aquellos que por fuerza cumplan la sigma aditividad.
Esta es una idea que con muchísima fuerza va a explotar quince años más tarde Constantin Caratheodory, un matemático greco-alemán, al que, entre otros muchos aportes, se le considera el padre de la teoría de la medida abstracta.
Uno puede preguntarse para qué querríamos una medida más abstracta, en un espacio genérico; ¿eso de qué nos sirve? Bueno, pensemos que por ejemplo la probabilidad va a ser considerable un tipo de medida positiva, concretamente una que verifica que el total tiene medida 1.
Ese será el enfoque de Kolmogorov en 1933, también padre de otra rama aún más importante, la probabilidad moderna. Cuando uno estudia probabilidad, uno se ha deshecho de la casuística tan abultada en la que se marearon los matemáticos durante siglos: el aporte de Kolmogorov es brutal, porque transforma los principales teoremas fundacionales de la probabilidad y la estadística en teoremas de teoría de la medida y de integración de Lebesgue, eso sí, sobre espacios de probabilidad.
Un espacio de probabilidad es un espacio abstracto, y, como tal, no aplica en él la construcción de Lebesgue, porque en un espacio abstracto no tienen que existir los intervalos, por ejemplo. Si es un espacio topológico uno puede usar como espacio de premedida los abiertos, y si no, simplemente los conjuntos pertenecientes a una cierta sigma-álgebra.
Aquí la cuestión es que se va a poder montar una medida siempre que haya conjuntos que verifican la llamada condición de Caratheodory. Esto es, curiosamente, algo que en la carrera mi profesor se lavó las manos a la hora de explicarlo, dijo que era un “cañonazo” que no íbamos a entender, que ni él lo entendió en quinto de carrera en su momento. No le quitaré razón, pero al menos una pequeña intuición puedo intentar dar aquí, ya que otros ni siquiera hacen el intento.
Poneros de nuevo en el caso de R con la medida exterior de Lebesgue, es decir, la medida dada por el ínfimo de los abiertos que contienen al conjunto que estamos midiendo. Para que un conjunto A sea medible, la medida exterior debe coincidir con la medida interior, que es con el supremo de los cerrados contenidos en el conjunto. Imaginaros que el conjunto está contenido dentro de un intervalo [a,b]. El contenido interior de A se puede ver como la medida exterior de [a,b] menos la medida exterior de [a,b] intersección con el complemento de A.
Forzando a que se cumpla que A es medible Lebesgue.
Y forzando a que se cumpla para todo a y para todo b, es decir, independientemente de si A está contenido en [a,b].
Y haciendo esto para cualquier conjunto y no solamente intervalos.
Pasando miembros.
Ahí lo tenéis, esa es la condición de Caratheodory, en un sentido general, incluso para conjuntos no acotados, que define la medibilidad de un conjunto. Y no hay más que restringir la medida exterior construida a partir de la premedida a los conjuntos que cumplen esa condición, que además siempre forman una sigma-álgebra, para tener una medida positiva, con su sigma-aditividad, en cualquier espacio abstracto que nos imaginemos.
Pero, como veis, el acierto inicial es completamente de Lebesgue, Caratheodory pone la guinda al pastel, y además empieza a introducir conceptos de teoría de la medida que en tiempos de la tesis de Lebesgue se encontraban de forma mucho más implícita, por ejemplo el concepto de sigma-finitud, es decir, que un espacio dado se pueda poner como unión numerable de conjuntos medibles de extensión finita, como en efecto cumple R con la medida de Lebesgue, o cualquier espacio probabilístico, es muy importante para que se puedan demostrar teoremas tan potentes como los que permiten intercambiar el orden de integración en una integral de Lebesgue, etc.
En definitiva, todo un mundo que a mí me ha apasionado muchísimo, y que integra, nunca mejor dicho, campos muy alejados del análisis, de la probabilidad y de la física en un mismo paraguas. De la aplicación de la física en todo esto hablaremos también largo y tendido en el futuro; por ahora me voy a limitar a dejaros, de nuevo, con la miel en los labios, con una idea que no solo es útil en la matemática, sino en la propia física, y que nace precisamente de la comprensión abstracta de lo que es la medida, pero con aplicaciones realmente muy prácticas.
MEDIDAS A PARTIR DE MEDIDAS E INTEGRALES…
Estoy hablando de la construcción de unas medidas a partir de otras, no como hace Caratheodory, que es la base en la que se fundamenta esto, sino haciendo el camino inverso al que realizó Lebesgue.
Lebesgue partió de la medida para construir su integral, aunque sin duda la medida había sido inducida como aspecto a estudiar por problemas con la integral de Riemann. En todo caso, lo interesantísimo es que también podemos cerrar ahora el círculo operando al revés: dada la integral de Lebesgue sobre una medida abstracta, que no necesariamente tiene que ser la medida de Lebesgue de Rn, sino sobre un espacio con conjuntos medibles Caratheodory, basta con integrar una función medible y positiva en un tal espacio en un conjunto, para inducir una nueva medida de ese conjunto. Incluso, uno podría integrar una función medible no negativa y generar medidas no positivas, aunque con propiedades interesantes.
Aquí el ejemplo natural es integrar la función densidad, por ejemplo en un volumen, respecto de la medida natural del volumen, que resulta ser la medida de Lebesgue, que cómo no, como está bien construida, se corresponde con lo que esperamos que físicamente se corresponda con el volumen; pues si uno integra una función densidad, que es positiva y medible, respecto de la medida de Lebesgue en R3, uno puede obtener una nueva medida. ¿Cuál? Pues la medida masa. La función medible densidad más la integral de Lebesgue permite inducir una nueva magnitud, y la relación entre ambas medidas, masa y volumen, lo da la función de densidad.
Como veis, finalmente las abstracciones tan aparatosas de Caratheodory sirven para dar un marco teórico a fórmulas tan elementales como Densidad=Masa/Volumen en física; pero no solo, evidentemente. Este camino apasionante que nos lleva de las integrales a las medidas, con su masiva aplicación en la física, la probabilidad y en el entendimiento de curvas y superficies, y que en cierto sentido es el inverso al que hemos recorrido en este capítulo, será uno que exploraremos en el próximo vídeo que dediquemos a esta serie.
