Del cero al uno parece haber un mínimo salto, una unidad. Después del cero, viene el uno. Después del vacío, viene la unidad, claro. Y, sin embargo, el ser humano tardó milenios, si no decenas de milenios, en saltar de la noción de uno, a la noción de cero. Y por supuesto que todavía hay cientos de millones de humanos que no conocen el cero. Pero claro, sí, antes del uno, viene el cero, por supuesto, es una trivialidad.
Ciertamente, solo la ceguera que nos lleva asumir que los fundamentos históricos de las matemáticas son los que son ha sido la que nos ha permitido tener el tiempo de dedicarnos a construir edificios como la teoría de ecuaciones diferenciales o la topología de superficies. Sin embargo, creo que va a merecer la pena pararnos hoy, al menos un rato, en aquello que bastantes matemáticos desconocen, y que, por desconocerlo, desprecian: el origen de su disciplina.
Vivimos en un momento muy particular. El siglo XX fue aquel en que la mayor parte de la población mundial abandonó un estilo de vida comparable al del neolítico. Sí, la inmensa mayoría de humanos hace cien años eran analfabetos, vivían en condiciones rurales, por supuesto sin electricidad ni agua corriente, y hacían uso de utensilios que tampoco habían cambiado demasiado desde la prehistoria. Aunque esto también ha sido así en Europa, desde luego resultaba mucho más llamativo a los europeos toparse con sociedades que no conocían la escritura, la rueda, o incluso el fuego. La mayor parte de sociedades humanas que alguna vez han sido en los últimos milenios, vivían en la prehistoria, es decir, no tenían HISTORIA, aunque tampoco es algo que les preocupara demasiado. Podría decirse que la situación habitual del ser humano es la de vivir en el neolítico, lo extravagante es vivir en una sociedad preocupada por geometrías no euclídeas.
Así pues, hablar de matemáticas desconociendo por completo qué han conocido la mayor parte de seres humanos sobre los números, cuanto menos es un acto de arrogancia, y desde luego, de onanismo. Sería como, siendo lingüista, olvidarse de que hoy por hoy se hablan más de 7000 lenguas, y pensar que la única potencialmente objeto de estudio es la inglesa o la española. Pero claro, como más de un cuarto de todas esas lenguas se encuentran simplemente repartidas por islas del Pacífico, como para abrir ese melón, ¿no? Pues igual: ¿a qué matemático se le va a ocurrir estudiar los sistemas de numeración en Micronesia, cuando es mucho más sencillo estudiar grupos de Lie, por ejemplo? Bueno, a algunos sí se les ha ocurrido, y son de los que saco las fuentes para este vídeo. Tenéis sus libros en la descripción.
Alguno me podrá decir que eso es un estudio que no tiene mucho que ver con las matemáticas. Sin embargo, me gustaría poner un par de ejemplos acerca de lo interesante que puede ser confrontar las matemáticas europeas, con los rudimentos de aritmética que tienen ciertos pueblos indígenas. En el libro The crest of the peacock podéis encontrar el caso documentado de un esclavo negro llevado a los Estados Unidos que, aun siendo analfabeto, podía hacer cálculos impresionantes de cabeza, muchísimo más rápido que cualquier blanco formado en matemáticas, aun usando pluma y papel. Muchos esclavistas se quedaban impresionados con la habilidad de los habitantes africanos a la hora de hacer cálculos. En 1788 Thomas Clarkson sintetizó estos pareceres: “Es asombroso con qué facilidad los intermediarios africanos calculan el intercambio de bienes europeos por esclavos. Uno de estos intermediarios quizás tenga diez esclavos para vender, y por cada uno de ellos exige diez artículos diferentes. Inmediatamente los reduce por cabeza a barras, onzas de cobre… y de inmediato ajusta el balance. El europeo, por otro lado, toma su pluma y con gran deliberación, y con toda la ventaja de la aritmética y las letras, comienza a estimar también. A menudo, es tan desafortunado que comete un error; pero tan pronto se equivoca, es detectado por este hombre de capacidad inferior, a quien no puede engañar ni en el nombre o la calidad de sus bienes, ni en el balance de su cuenta”.
La cuestión es interesantísima: ¿qué narices nos estamos perdiendo? ¿Qué falla en el algoritmo que empleamos para multiplicar, que es más lento que el de tribus cuyo conocimiento matemático era supuestamente nulo? Lo cierto es que nuestro método podría ser completamente ineficiente y que, sin embargo, lo estemos empleando porque, una vez inmersos en esta construcción de la aritmética, por ejemplo, estemos tan cegados por el ritual, que ya no tengamos la creatividad necesaria para encontrar formas más apropiadas de calcular. Y esto podría parecer una nimiedad, una cosa insignificante, ahora que tenemos calculadoras, pero es que hasta el siglo XX con la aparición de los ordenadores, el cálculo numérico, es decir, la aproximación no analítica de las soluciones a un problema, por ejemplo, de una ecuación no lineal, era completamente inviable, porque nuestra aritmética es muy lenta, muy costosa en tiempo. Mientras tanto, los chinos, por ejemplo, con sus ábacos, lograban hacer cálculos aritméticos brutales en un tiempo récord no superado, como digo, hasta la aparición de los ordenadores.
Pero vamos a poner otro ejemplo. Tenemos completamente interiorizado que el lenguaje matemático se compone de símbolos a la manera de las letras. A veces la notación es una cosa farragosa. De hecho, en ocasiones uno siente que la carrera de matemáticas es solo un camino de entender el lenguaje en el que están escritas, más que del propio contenido. Pues bien, nuestra creatividad también parece estar muy limitada en este sentido, porque ¿qué motivo habría para no emplear otros significantes como por ejemplo los colores? Yo qué sé, me cuesta pensar en qué podrían usarse, porque yo soy el primero que no posee originalidad ninguna y estoy del todo condicionado por las matemáticas occidentales. Sin embargo, es interesantísimo ver cómo los incas, que no conocían la escritura, se las arreglaron con colores y nudos en cuerdas para lograr que su administración funcionara de manera sorprendentemente compleja para un pueblo prehistórico. Tenéis un más examen detallado del sistema del quipus, hasta donde lo conocemos, en el libro de antes, The creast of the peacock.
En todo caso, mejor que yo, puede explicarlo José de Acosta, uno de los jesuitas que lo vio con sus propios ojos: “Son quipus unos memoriales o registros hechos de ramales, en que diversos nudos y diversos colores significan diversas cosas. Es increíble lo que en este modo alcanzaron, porque cuanto los libros pueden decir de historias, y leyes, y ceremonias y cuentas de negocios, todo eso suplen los quipus tan puntualmente, que admiran”. Según estudios de descifrado ya del siglo XX, aparentemente servían para registrar números en base 10. Sin embargo, como comenta de Acosta, parece que la cantidad de información que se acumulaba en los quipus era bastante variada. Y de manera incluso más exquisita en su castellano aurisecular, comenta: “pues verles otra suerte de quipos, que usan de granos de maíz, es cosa que encanta; porque una cuenta muy embarazosa, en que tendrá un muy buen contador que hacer por pluma y tinta, para ver a como les cabe entre tantos, tanto de contribución, sacando tanto de acullá y añadiendo tanto de acá, con otras cien retartalillas, tomarán estos indios sus granos y pondrán uno aquí, tres acullá, ocho no sé dónde; pasarán un grano de aquí, trocarán tres de acullá, y, en efecto, ellos salen con su cuenta hecha puntualísimamente sin errar un tilde, y mucho mejor se saben ellos poner en cuenta y razón de lo que cabe a cada uno de pagar o dar, que sabremos nosotros dárselo por pluma y tinta averiguado. Si esto no es ingenio y si estos hombres son bestias, júzguelo quien quisiere, que lo que yo juzgo de cierto es que, en aquello que se aplican, nos hacen grandes ventajas”.
Recuerdo ahora que los incas ni tenían rueda ni tenían caballos ni tenía escritura, y sin embargo transmitían la información desde la capital hasta los rincones del imperio con más rapidez que los europeos del siglo XVI. Otro cronista, Cieza de León, narraba cómo los caminos eran bastante mejores que los de España (que ya es decir, con el legado romano de las calzadas), y cómo aproximadamente a cada kilómetro había un puesto con un par de mensajeros que se relevaban la carrera que efectuaban hacia el siguiente, con el quipus en la mano.
Cuanto menos, repito, es interesante que las matemáticas que empleamos, herederas de la tradición griega, india e islámica, que es en principio la única matemática seria, sea EN SUS FUNDAMENTOS ARITMÉTICS más ineficiente, al menos según estos testimonios, que la de otros pueblos tecnológicamente más atrasados. Repito: ¿qué está fallando?
En el último vídeo mencioné la necesidad de una exposición histórica y motivada de la ciencia en general y las matemáticas en particular, tanto en la Secundaria como en la Universidad. No obstante, la historia a menudo desecha cuanto resulta tangencial a las grandes tendencias de la civilización. En lugar de estudiar al hombre, mayoritariamente anclado en sociedades neolíticas sin historia, prefiere estudiar a este o cual hombre concreto, como si acaso Euclides fuera más representativo de lo matemático que una tribu indígena de Oceanía. Es tomar una idea demasiado restrictiva de nuestro estudio. Euclides es un caso concreto: el más fructífero, posiblemente, pero quizás también contingente, en cualquier caso, y para cobrar conciencia de dicha contingencia hay que ir más allá de la concepción griega de la matemática como ciencia deductiva. De ahí el rol de la antropología, que bebe a menudo de lo que la historia desecha como objeto de estudio.
Encuentro sintetizadora la siguiente reflexión en el ya citado libro The creast of the peacock: “Para el filósofo occidental, el estudio de los sistemas numéricos en el lenguaje natural parece tener poca o ninguna relevancia para entender la esencia del número: un concepto abstracto, filosófico, nacido entre antiguos griegos y ajeno a las palabras y los giros culturales. Los historiadores de las matemáticas prefieren indagar en los orígenes de los números escritos, temerosos de adentrarse donde se entrelazan cultura y lenguaje. Trabajan siempre con registros escritos, preferentemente en lenguas europeas. Las ideas acerca de los números entre las tribus «primitivas», si se mencionan, suelen despreciarse con desdén. La falta de curiosidad por las sociedades más allá del común ámbito de historiadores y filósofos ha arrojado desdichosas consecuencias. Aquellas sociedades que carecen de una tradición documental histórica conforman la mayoría de las lenguas del mundo, y así, gran parte de las prácticas de numeración y contabilidad de la humanidad son sumidas en el olvido. Igualmente, las sociedades cuyas prácticas numéricas son objeto de estudio en la escritura histórica tienden a reducirse a unos pocos tipos, lo que ocasiona un notable desequilibrio en los debates acerca de sistemas basados en la decena. En ocasiones se hacen concesiones por las irregularidades derivadas de los vestigios de la base 12 (como en inglés y alemán) o de la base 20 (como en francés y neerlandés). Una funesta consecuencia de esta concentración es la propensión a incurrir en la falacia reduccionista que supone que la respuesta humana ante la necesidad de enumerar su mundo es uniforme a través del tiempo y las culturas”.
Esto de las bases es un ejemplo especialmente interesante. Los sistemas de conteo en principio se desarrollan a partir de una cierta base, un cierto número respecto del cual se definen todos los demás. Si bien hay que matizar que esta consideración es problemática, porque como acabamos de ver la manera de enumerar es de lo más variada a lo largo y ancho del mundo, y a menudo nos encontramos con sistemas de base mixta.
Por comenzar con lo que nos resulta más familiar, nuestro sistema, como es bien sabido, es decimal, lo que quiere decir que nuestra manera canónica de ver al número es como una serie numérica de potencias de 10 multiplicadas por un factor natural del 1 al 9. Añadiríamos a esto el cero, que es una invención mucho más reciente, y los números negativos, cuya aceptación ni siquiera estaba consolidada para el mismísimo siglo XVII. Esta es nuestra visión intuitiva de todo número real. Por supuesto que las potencias de 10 tienen exponentes que van desde menos infinito a más infinito.
Ahora bien, este mismo procedimiento lo podríamos hacer para el dos, el cinco, el doce o el sesenta. En principio, los motivos por los que asumimos la base diez son puramente contingentes. La suposición más elemental acerca de su origen es que tenemos diez dedos. El sistema sexagesimal, que usaban los babilonios y que todavía arrastramos en nuestro modo de medir los ángulos y el tiempo, también se acoge a una justificación similar, aunque es una mera especulación: con el pulgar, contamos las 3 falanges de cada dedo de los cuatro restantes en la mano derecha; cuando llegamos a doce, levantamos un dedo de la mano izquierda, y si tenemos que seguir contando, repetimos el procedimiento anterior hasta levantar los 5 dedos de la izquierda: 5*12=60.
La historia es que el sistema sexagesimal parece mucho más apropiado para ciertos fines. Así, a la hora de trabajar con fracciones, el 60 es un número magnífico, pues es el menor número divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6, mientras que el 10 solo es divisible entre 2 y 5. También el doce tiene mejores propiedades de divisibilidad que el diez. De hecho, en el siglo XVIII, Carlos XII de Suecia intentó recuperar la base duodecimal. Además, posee una justificación anatómica, como acabamos de ver con las falanges. El vestigio, como decíamos antes, lo encontramos en el alemán y el inglés, cuando todos los números hasta el 12 poseen un nombre particular, mientras que a partir del 13 se ponen en relación al 10. Recordemos por otro lado que al año se han definido 12 meses, y que en un día hay dos veces doce horas, de manera que también desde un punto de vista astronómico no era descabellado este enfoque. Porque claro, la importancia de la astronomía en las matemáticas es fundamental, dado que las primeras referencias a ciclos temporales, es decir, a cantidades de tiempo cuya periodicidad resultaba de interés, eran de carácter astronómico, como las fases lunares. Por cierto que, a este respecto, es curioso que el ciclo menstrual de la mujer coincide aproximadamente con el tiempo que dura el ciclo lunar, lo cual ha dado lugar a hipótesis extravagantes acerca de por qué el patrón de tiempo que supone el mes surgió como tal: si por la Luna, o por el ciclo menstrual.
En el francés, en cambio, el vestigio es relativo al veinte, cosa que recuerdo que me extrañaba cuando me enseñaron que el ochenta se decía quatrevingt, y que los números del 70 al 79, por ejemplo, se construyen a partir del 60 y hasta el veinte. Este sistema vigesimal lo utilizaban igualmente las lenguas celtas, el euskera, y, al otro lado del charco, los mayas. También una serie de pueblos de Nigeria, los Yoruba, empleaban la base veinte, con la peculiaridad de que los números cuya última cifra era mayor que cinco, se enunciaban restándole números a los múltiplos de veinte. Por ejemplo, el 45 sería el tres veces veinte menos diez menos cinco. Este caso especial, que para cifras grandes se volvía tremendamente complejo, ofrecía sin embargo un método para calcular implícitamente multiplicaciones sin usar ningún tipo de aritmética. La conjetura de por qué los Yoruba usaban este método se remonta al uso de saquitos de cinco, veinte y doscientas conchas que empleaban para contar. Por el modo en que habían inventado su sistema de conteo, no necesitaban reglas adicionales de cálculo para trabajar con productos.
Existen diversísimos, pues, métodos de enumeración, si bien los más habituales, los de base 2, 3, 4 y 5, ni siquiera los habíamos mencionado. Por cierto que esta discusión de las bases sigue siendo útil para la formulación de ciertos problemas incluso en las matemáticas actuales. Lo primero que se nos viene a la mente, la base 2, que utiliza ceros y unos. Pero también la base 3, que podemos emplear para construir el conjunto de Cantor, un conjunto que aun no siendo numerable, es decir, teniendo una cardinalidad mayor que la de los números naturales, tiene medida de Lebesgue nula. Y aquí mismo han surgido dos cuestiones relevantísimas: la primera, que para el correcto funcionamiento de un sistema numérico, el cero acaba terminando por aparecer, y en segundo lugar, que la discusión de la enumeración, de la cardinalidad de conjuntos finitos, como vamos a ver ahora, es en realidad la misma noción que la de la discusión de la cardinalidad en conjuntos infinitos, como el conjunto de Cantor, que hemos dicho que en algún sentido es estrictamente mayor que el conjunto de los números naturales.
El primer tema, el surgimiento del cero como número, debido a la aparición de sistemas posicionales, lo voy a dejar para un vídeo próximo, porque es un tema interesantísimo y fundamental para entender las matemáticas. Además, nos recuerda lo poco inmediato, lo poco trivial que tiene la noción de que lo uno venga detrás de lo nulo, al haber surgido el cero como noción únicamente en cuatro culturas a lo largo de la historia de la humanidad, la babilónica, la china, la maya y la india, y que solo en una, esta última, acabara por alcanzar el estatus ontológico de número. Lo más interesante es que la noción de cero proviene… ¡de la gramática! Pero, como digo, no voy a adelantar más sobre el asunto, porque tiene sus bemoles la cosa.
El segundo tema, lo vamos a explorar en relación a cómo el ser humano comenzó sus andanzas en esto de contar, pues hasta ahora nos hemos limitado a referirnos a algunos ejemplos antropológicos de sociedades en las que ya había una mínima noción de número, a pesar de su escasa abstracción (que reitero que solo puede alcanzarse una vez el cero irrumpe en la escena).
Evidentemente el trabajo de la historia es aquí muy limitado, al resultar los pocos testimonios arqueológicos de los que disponemos lo suficientemente vagos como para que multitud de teorías se arrojen sobre ellos. Es algo que ocurre de manera muy habitual con el estudio de la prehistoria. Un ejemplo representativo es el hueso de Ishango, en el Congo. Datado hacia 20.000 años atrás, se encontró junto a un conjunto de restos de una población paleolítica que vivía mayoritariamente de la pesca. Es un hueso con una serie de muescas dispuestas de manera asimétrica, y aparentemente con un cierto patrón. Lo que podemos es encontrar varias filas con distintas maneras de agrupar a las muescas.
En la primera fila tenemos cuatro grupos de 9, 19, 21 y 11 marcas. En la segunda también tenemos 4 filas de 19, 17, 13 y 11 marcas. En ambos casos, la suma total es de 60. Lo interesante es que la segunda fila lo componen los números primos del 10 al 20, mientras que la primera es consistente con un método de conteo basado en el diez, por medio de la adición y la substracción; 9=10-1,… Finalmente, en la última fila encontramos ocho grupos de muescas, en la que encontramos grupos de números relacionados por la relación de multiplicación por 2: el 5 con el 10, el 4 con el 8, y el 3 con el 6. Estas extrañas coincidencias han sugerido a los arqueólogos interpretaciones que van más allá de considerar al hueso de Ishango un mero instrumento de conteo. Eso no habría sido una gran sorpresa: ya hemos encontrado restos de hace incluso 40.000 años en los que en un hueso hay un patrón de muescas aparentemente destinado al conteo. Lo interesante del caso es que parece haber presencia de unas prematemáticas en forma de un conocimiento de los números primos, de un sistema de conteo en base 10, y del principio de multiplicar por 2, todo en pleno paleolítico. De hecho, se ha llegado, incluso, a especular con la posibilidad de que ese protosistema decimal fuera el que acabara transmitiéndose hasta Egipto, donde por primera vez se usó la numeración escrita en base 10. Esto, para más inri, parecería reforzar el conocimiento que los griegos tenían de las influencias que en última instancia habían desembocado en ellos, con Heródoto comentando las raíces africanas de la cultura egipcia, la más resplandeciente que conociera el mundo durante siglos.
Sin embargo, como he dicho, esto son elucubraciones teóricas que pueden estar yendo muchísimo más allá del sentido práctico al que se acogiera la existencia del hueso de Ishango. Son meras hipótesis, y posiblemente muy descabelladas. Otra variación que han ofrecido los arqueólogos ha sido la tesis astronómica. Al final, la suma de las dos primeras filas da 60, mientras que la tercera da 48, lo que sugiere quizás la utilización del hueso a modo de calendario: dos meses son aproximadamente 60 días, y un mes (muy aproximadamente), 48. Desde luego que en cualquier caso el 48 y el 60 son números que nos resuenan por tener muy buenas propiedades, por ejemplo de divisibilidad, y evocan a los sistemas duodecimales y sexagesimales con los que trabajamos antes.
Difícilmente estas coincidencias pueden inclinarnos a considerar al hueso de Ishango únicamente un instrumento de conteo elemental, pero desde luego que ninguna de las hipótesis se figura especialmente concluyente, como en general es habitual que vaya a ocurirr, como hemos dicho, con cualquier resto arqueológico del paleolítico. Precisamente por esto a menudo va a resultar más interesante apelar a la etnología, como he intentado hacer a lo largo del vídeo, además de porque el sistema de numeración escrita siempre subsigue al de conteo con muchísimo retraso, y todavía ni siquiera hemos explorado cómo el ser humano adquirió la noción aparentemente elemental de número. La persistencia en el neolítico de muchos de los pueblos que todavía habitan la Tierra (algunos, incluso, en el paleolítico más primitivo, como los habitantes de Sentinel del Norte), nos permiten literalmente retroceder 10.000 años en la historia de nuestra civilización. Aspectos contingentes quizás sean diferentes, pero la esencia no va a ser muy diferente. Al fin y al cabo el ser humano siempre ha buscado soluciones a sus problemas apelando a herramientas similares.
Además, el estudio de la evolución del aprendizaje en las sociedades humanas es extrapolable en buena medida al de los niños. Independientemente de que la ontogenia no siga exactamente los caminos de la filogenia, es decir, que la evolución del individuo sea algo así como la reconstrucción de la evolución de la especie, desde luego que para la pedagogía debería resultar del máximo interés estudiar cómo se desenvuelven las sociedades más primitivas con las matemáticas. Y es que el problema pedagógico en matemáticas es de primer nivel, como todos sabéis. A la mayor parte de seres humanos parecen espantarles las matemáticas. Ontogénicamente, el individuo aprende antes a dibujar o a escribir que a sumar, cuando la dificultad que a posteriori podemos suponer a la suma es prácticamente nula. Pero es que en las sociedades humanas la aritmética rara vez suele estar avanzada al nivel de la complejidad de sus religiones, de sus ritos, o de sus expresiones artísticas. A las tribus indígenas es más fácil enseñarles las artes de la música o la escultura que a sumar. Es posible que por este sentimiento de incapacidad de la humanidad con respecto a los números han la filosofía y la ciencia situado a las matemáticas en lo más alto de los saberes. Parece algo más arbitrario de lo que algunas veces asumimos: quizás solo sea un mecanismo de compensación, por la baja autoestima que nos imprimieron alguna vez las matemáticas… Yo mismo el único recuerdo que tengo de haberlo pasado realmente en el colegio fue cuando me enseñaron a multiplicar por varias cifras y a dividir por varias cifras, con 7 u 8 años. Aquello no me entraba ni a tiro, era un verdadero sufrimiento ver cómo mis compañeros entregaban la tarea y yo que me quedaba ahí rezagado mirando la multiplicación con ojos de ¿quién narices te ha invitado a existir? Y ya veis, quizás por querer demostrarme que podía, he acabado estudiando matemáticas y física. Puede ser que a Platón o a Euclides les sucediera algo parecido, no sé.
Ya desde el comienzo esta dificultad la podemos ver en el hecho de que ninguno de nosotros puede a simple vista distinguir entre un conjunto de 12 y 13 elementos, por ejemplo. Nuestra barrera de la percepción a simple vista se extiende hasta la noción de cuatro o cinco. A partir de ahí tenemos que contar. En general parece que esta capacidad nuestra no es muy diferente de los animales, al menos de los más desarrollados. Os invito a que investiguéis un poco sobre el tema, por ejemplo en La historia universal de los números de Georges Ifrah. Como digo, no parece que en la captación visual de una cantidad seamos muy diferente de los cuervos, por ejemplo. Ese es quizás el principal motivo por el que en los sistemas de numeración ya escritos, la notación del cinco suela diferenciarse claramente de la de los cuatro primeros números. En la notación romana misma, por ejemplo, el cinco, la V, da sentido al cuatro, al seis, al siete y al ocho, pero nunca veremos más de tres Íes juntas, básicamente porque los seres humanos somos demasiado inútiles como para diferenciar cinco palos. (Aquí tenéis imágenes con algunos sistemas numéricos escritos, para ver que sucede de manera similar en casi todos los casos). Todo esto, a menos que los elementos estén dispuestos de manera asimétrica, como ocurre con nuestras manos, en las que justamente encontramos un grupo de cuatro dedos más el pulgar, de manera que resulta muy sencillo saber que en nuestras manos hay cinco dedos. Seguramente el origen de nuestra incapacidad para distinguir a simple vista más allá del 4 o el 5, a menos que dividamos en subgrupos de estas cantidades gracias a alguna asimetría, se debe a cómo son nuestras manos, que son la herramienta principal de conteo con la que hemos contado los seres humanos.
Porque en lo que sí somos buenos, aunque desde luego tampoco mejores que los cuervos, es en identificar biyecciones, correspondencias, es decir, vemos bien cuándo a un elemento de un conjunto le va asociado unívocamente un elemento de otro conjunto. Si por cada elemento de un conjunto levantamos un dedo y al final llegamos a los cinco, el principio de univocidad implica que en ese conjunto hay también cinco elementos. O visto de otro modo: si vemos a 50 personas y a 50 asientos separados, a menos que nos pongamos a contar cada uno ni de coña vamos a ver si hay el mismo número, pero si vemos a cada persona sentada en su sitio, no tenemos ninguna duda de que hay el mismo número de personas que de asientos. Este es el motivo por el que los números pares les resultan a los niños más fáciles de comprender que los impares: de hecho, a algunos niños les cuesta saltar del 2 al 3, saltan del 2 al 4. La noción de paridad va mucho antes que la de número, justo porque los pares son como pequeñas biyecciones entre conjuntos unitarios. Esto mismo lo vemos con muchísimas sociedades primitivas, que solo tienen una palabra para el uno, otra palabra para el dos, y a partir de ahí se pierden y dicen “muchos”. En ocasiones el tres se dice dos-uno, y en otras llegan al cuatro, dos-dos, pero la noción de número les es completamente ajena a partir de ahí. Aunque en algunos casos esto ha dado lugar a sistemas de conteo en base dos, con esa construcción que acabamos de describir, o contando por parejas, lo cierto es que la mayor parte de las veces solo hay la distinción elemental unidad-paridad. Sí: pueblos para los cuales la noción del cinco es más abstracta que la que nosotros tenemos de un número trascendente o imaginario. Contemplan la cardinalidad de los conjuntos de una manera puramente cualitativa: no asocian a un conjunto un número, sino que solo saben decir si dos conjuntos poseen los mismos elementos, es decir, si hay una biyección entre ellos. Asocian a un conjunto este elemento cualitativo como podrían hacerlo con el color o la forma, y memorizan la figura completa, como una gestalt.
El cuerpo humano ha sido siempre la base a partir de la cual establecer esa biyección. Sociedades primitivas que no conocen en absoluto la noción de número pueden trabajar con cantidades elevadas, del orden de miles, simplemente gracias a su cuerpo. También tenéis ejemplos en el libro de Ifrah. A una secuencia de gestos corporales le iba asociada una cantidad, pero no porque el gesto x representara la cantidad x, sino porque a cada gesto corporal le iba asociada una cierta acción por parte del que contaba. Por ejemplo, señalarse cada uno de los dedos de las manos y de los pies, y que en cada caso el otro soltara un coco: sin conocer el número veinte, ni siquiera poder imaginárselo, podían intercambiar veinte cocos. Por cierto que esto del cuerpo también tiene consecuencias pedagógicas, y al parecer los niños son prácticamente incapaces de aprender los números si no se apela a las partes del cuerpo.
Ahora bien, como en general nos llevamos bien con el principio de biyección, los seres humanos comenzaron en algún momento a utilizar otros conjuntos con respecto a los que comparar los que vieran ahí afuera: por ejemplo, marcas sobre un hueso, un palo, nudos en una cuerda, o saquitos de conchas. En cada palo, por ejemplo, tenían un conjunto de muescas distinto, de manera que en cada caso comparaban una cantidad de elementos en un conjunto con el palo que mejor les conviniera. Así, si un pueblo iba a la guerra con otro y quería saber cuántos de sus hombres caían, tomaban un palo y por cada hombre que hubiera antes de partir dibujaban una muesca. A la llegada, volvían a repetir la operación para ver si estaban todos los hombres que habían partido. Si con los hombres que llegaban no daba como para señalar todas las muescas, había menos hombres que cuando se fueron.
Esto, que nos parece tan obvio y elemental, es el mismo principio que utilizamos hoy día para comparar conjuntos infinitos. Aquí la noción clave es la de sobreyectividad: es decir, si tenemos un conjunto y lo aplicamos al otro, ¿podemos asociarle a cada elemento del segundo uno del primero? Si no es así, es porque en el primer conjunto tenemos que tener por fuerza menos elementos que en el segundo. Como hemos dicho, nuestras limitaciones de cara a entender el infinito no son muy distintas de las que poseen los primitivos para entender los números finitos, de manera que al final hemos apelado al mismo principio. Este es justamente el caso de los números transfinitos de Cantor de los que hablaba antes: no hay suficientes números naturales como para asociarle a cada uno de ellos un número de reales, aunque sí de racionales. Utilizamos para comparar conjuntos infinitos el mismo principio que quienes no saben contar utilizan para comparar conjuntos finitos. Nuestros números transfinitos, aleph cero (cardinal de los números naturales), aleph uno… son a nosotros como el 3 y el cuatro a los aborígenes australianos: a partir de una biyección, imprimimos una noción de cardinalidad intrínseca a la realidad. Antes, el número venía dado por relación al conjunto sobre el que venía definido, como para nosotros aleph cero viene asociado al conjunto de los números naturales, en vez de como número al que lleguemos de manera completamente abstracta. Asimismo, las tribus de las islas Fiji y Salomón tienen palabras distintas para el número cien en función de si se refieren a cien cocos o a cien piraguas. El número es inicialmente indisociable con respecto al objeto del que se extrae esa cualidad. Y digo cualidad, no cantidad, como el aleph cero supone para nosotros más una característica de los naturales antes que un número con el que trabajar aritméticamente.
Finalmente, para que la noción de número natural pueda arraigar en la mente humana, es necesaria la noción de orden, de jerarquía. En general, para que la ciencia aparezca, la comprensión de esta relación es indispensable: sin clases, categorías, que jerarquicen elementos diversos en esquemas cada vez más generales, no es postulable ninguna ley física, la definición de vida, o la comprensión de la aritmética. Antes hablábamos de biyecciones, que dan lugar a la noción de cardinalidad gracias a la relación de equivalencia “mismo número de elementos de un conjunto”; ahora hablamos del otro tipo de relación principal estudiada por las matemáticas, la relación de orden. Sin pensar en orden no tiene sentido concebir la ordinalidad, y sin ordinalidad no hay números naturales. Ya Aristóteles en su metafísica definía a todo natural como una “multiplicación conmensurable de unos”: ello supone la existencia de un número a partir del cual se construyen los demás, que, efectivamente, es la unidad. La noción de uno sí parece ser intrínsecamente humana, y todas las sociedades lo conocen. Desde el propio hecho de que el hombre ha sido deyecto al mundo de manera individual, solitaria, claramente diferenciada de su entorno (si bien esto no tiene lugar hasta una cierta fase de la percepción del bebé), la noción de uno parece insoslayable. Y, como dice Aristóteles, de ahí, por repetición, por inducción, a modo de adjunciones se procede a la construcción de todos los demás. Este enfoque es justamente el que ya en las matemáticas modernas emplearon Peano, y, después, Von Neumann, ya en teoría de conjuntos, para construir a los naturales: se coge como axioma que el uno es natural, que todo natural tiene una función sucesor (por ejemplo, la función sucesor aplicada al 1 daría el 2), que el uno no es el sucesor de ningún número natural, que dos números tienen el mismo sucesor son el mismo natural, y, finalmente, el principio de inducción, a saber, que si el 1 pertenece a un conjunto A, y que dado un natural cualquiera de A, el sucesor también pertenece al conjunto, entonces los naturales están contenidos en A. O sea: los naturales son el menor conjunto construido por inducción. Por su parte, Von Neumann construyó a los naturales a partir del conjunto vacío, por medio de uniones, de un modo que tampoco vamos a describir ahora, pero que básicamente se corresponde con la noción moderna en matemáticas de ordinalidad.
Esta última digresión la he realizado por una razón. La cuestión es que, cuando a uno le presentan esto en la carrera de matemáticas, le parece una cosa trivial, casi arbitraria, de escaso sentido, y de la cual lo único que me pareció interesante, aunque tampoco demasiado, era la idea de construir el edificio de las matemáticas a partir de algo tan sencillo como el conjunto vacío. Sin embargo, espero haber dejado claro tras el vídeo de hoy que a la mente humana una tal construcción le parece intuitiva solo si vive en una sociedad muy concreta, un caso particularísimo de todas las que alguna vez han sido, y que es la nuestra: y digo nuestra porque sin duda las barreras se han roto en muchos sentidos entre todos los que convivimos, por ejemplo, en la red. Es una especie de asamblea mundial, no muy distinta de las casas de la palabra de los pueblos indígenas, pero a una escala gigantesca. Reitero: nuestra sociedad es un caso concreto, específico, poco representativo, que nos hace creer que lo básico y fundamental está donde no lo está. Los números naturales son el resultado de una historia alambicadamente compleja, no lineal, y resultado de contingencias antropológicas interesantísimas. A ojos de un estudiante de matemáticas como yo, las bases parecían proceder del conjunto vacío: claro, lo interesante de los naturales no es la función sucesor, sino la noción de vacío; ¡menudo despropósito! Solo quiero recordar que antes del uno no vino el cero, antes del uno nunca vino el vacío: eso es solo resultado de una odisea histórica, que será la continuación de la que hoy acabamos. Espero que os haya resultado de interés esta vuelta a los orígenes. Sin duda estábamos construyendo la casa por el tejado…
