Introducción
Curioso que el ser sea, y el no ser no sea, cuando la nada permea de manera tan profunda nuestra experiencia de la realidad. Lo que permite que lo que estoy diciendo ahora mismo, por ejemplo, posea un significado concreto, son los silencios que median entre mis palabras; lo que nos permite pensar es el espaciamiento entre nuestras ideas, el vacío mental habido entre pensamiento y pensamiento.
Y sin embargo, cuánta confianza necesitamos para compartir un silencio genuino con alguien, ¿verdad? ¡Cuánto abominamos un instante de silencio mental, casi sinónimo de vacío existencial, como si fuéramos a desaparecer por no pensar!
Quizás este mismo miedo sea la raíz del motivo que se esconde tras del hecho de que el cero, la noción matemática de la nada, aun a pesar de que hoy día ES la columna vertebral de las matemáticas, tardara tanto tiempo en aparecer y florecer. Esto es sobre lo que hoy vamos a reflexionar.
La nada… ¿puesta a servicio del ser humano?
La nada no es únicamente un tema fascinante sobre el que reflexionar metafísicamente: es extremadamente útil. Claro que en Occidente la nada ha sido un tema central: desde Parménides a Sartre, pasando por Aristóteles y Heidegger; simplemente, podríamos aventurarnos a decir, se ha tratado de un estudio, “excesivamente intelectual».
Quizás se trate de un cliché, pero no creo ir desencaminado al decir que, en Oriente, el hinduismo, e incluso en mayor medida el budismo, han puesto el vacío al servicio del ser humano: la liberación, el Nirvana, es solo alcanzable si realmente integramos con sabiduría el estado de vacuidad. Si todos los fenómenos son vacíos, resulta más sencillo y práctico cultivar la paz y el amor.
Pues bien, esta misma practicidad de la nada que en Oriente ha venido cultivándose desde antaño, si bien no parece haber tenido tanto peso en la moral occidental, sí ha llegado en una forma muy particular: en el lenguaje de las matemáticas, y, por extensión, de la física. El análogo numérico del vacío es el cero, y el cero es, literalmente, la piedra angular de la matemática moderna y contemporánea. Lo que sucede es que ya viene implícito, y no cultivamos constantemente la presencia que el cero de hecho tiene en todas las ramas de la matemática: cálculo diferencial e integral, por supuesto, y por extensión el estudio de ecuaciones diferenciales; geometría, por ejemplo en sus versiones proyectiva y diferencial; teoría de conjuntos, no solo por la importancia del conjunto vacío, sino la del compañero indisociable del cero, el concepto de infinito; y un muy largo etc.
Conjuntos vacíos, Von Neumann y Nietzsche
Tomemos este último caso, que quizás es el menos intuitivo para nosotros, y para mí encierra una idea curiosa que me gustaría comentaros. Considerad por ejemplo la construcción de los números naturales elaborada por Von Neumann. Si no sabéis de qué narices estoy hablando, tampoco importa, aunque sí os aconsejo que veáis el vídeo de Así nacieron las matemáticas, que tenéis en este canal, donde explicamos brevemente los axiomas de Peano al final del vídeo.
Lo único que tenéis que saber es que una construcción conveniente de los números naturales a partir de teoría de conjuntos es tomar conjuntos vacíos e ir uniéndolos de una manera muy particular. Para mí esta es la culminación en la aceptación del cero, y su versión conjuntista, el conjunto vacío; y no solo la aceptación, sino el grado de obsesión que los matemáticos tienen con el concepto de vacío: ¡tanto que lo ponen en la base de la construcción de los números naturales, el origen mismo de las matemáticas!
Pareciera que, después de haberle negado el estatus ontológico de número al cero durante siglos, ahora nos hayamos pasado al otro extremo, a saber, el de solamente considerar que el cero, el vacío, posee un estatus realmente intuitivo, a partir del cual cobran sentido las nociones de 1, 2, 3… Es casi como la voluntad de nada de la que hablaba Nietzsche: el hombre prefiere antes agarrarse a la nada antes que no agarrarse a nada, le parece más lógico fundamentar la matemática a partir del vacío, que asumir el vacío de esas bases.
El camino hasta el cálculo infinitesimal
En cualquier caso, esto era solo un inciso de una idea personal que tuve cuando me enseñaron esto en la carrera. Mucho más obvio es el peso del cero no en lo que he dado en llamar el culmen de la aceptación del cero, sino en su genuino comienzo, allá por el siglo XVII: naturalmente me refiero al cálculo diferencial e integral. Y no es esto de lo que hoy más vamos a hablar, un tema ya muy tratado, también en este canal, por cierto, donde hemos hecho ya repaso de algunos puntos clave de la historia del cálculo en los vídeos sobre los números reales y teoría de la medida; pero algo sí hay algo que hacer notar, y que se observa claramente en los mundos de la derivación y la integración. Me refiero a la profunda relación entre cero e infinito.
Más allá de que el principio fundamental aquí sea que cualquier cosa que no sea cero entre cero sea infinita, y que cualquier cosa que no sea infinita entre infinito sea cero, vamos a trasladarnos un momento a Oriente (que nos va a acompañar a lo largo de todo el vídeo, iremos viendo por qué), para ver quién se pudo dar cuenta, antes que los matemáticos, acerca de esta relación tan estrecha. Porque sí, para los primeros matemáticos en trabajar con la idea de cero numérico, los matemáticos indios, esta relación no era a priori tan evidente, como desde luego no lo es para los chavales hasta que les enseñan sobre estas cosas con quince o dieciséis años.
El cero ya existía, en un sentido posicional, como después explicaremos, antes de que los matemáticos indios comenzaran a tratarlo como un número. (Y en esto es posiblemente en lo que realmente fueron pioneros, como no en otras muchas ideas que también se le han atribuido, merced a cierto romanticismo).
¿Y qué significa, realmente, tratarlo como a un número? Pues, simplemente, pasar a hacerle las mismas cosas que a los números que ya estaban ahí, relacionarlos con los números naturales, con las fracciones: operándolos con aquellos. Esto parece poco meritorio, pero no es nada trivial. Los principales pasos en el avance de las matemáticas hasta bien entrado el siglo XVI fueron siempre obra de grandísimos periodos de tiempos; el motivo filogénico es el mismo detrás de la dificultad que ontogénicamente se refleja en los niños al aprender matemáticas, y sobre el que ya reflexionamos largo y tendido en el vídeo sobre el origen de las matemáticas. El problema principal es que la abstracción y generalización de un conjunto abultado de fenómenos en principio diferentes, aunque a posteriori ya no nos lo parezcan, siempre es algo profundamente exigente, y es la condición sine qua non para que se dé ese avance.
Brahmagupta, Bhaskara y Mahavira
En este caso, simplemente el hecho de operar con sumas y restas agregando el número cero al juego, implicaba un reto enorme de condensación de la enorme casuística que, a ojos de los antiguos matemáticos, parecía haber. En tiempos de Brahmagupta, siglo sexto después de cristo, cuando en la India comenzaba a aceptarse la noción de número negativo, resultado inevitable de la sustracción con el cero, había pasado casi un milenio desde que por primera vez en China hubiera aparecido la noción de negativo. Pero es que habría que esperar mil años más a que se aceptara en Europa: incluso Descartes rechazaba la idea de número negativo, por considerarlo una quimera casi al nivel de los que dio en llamar números imaginarios, denominación que todavía empleamos para referirnos a esa entidad numérica.
De manera que el modo en que Brahmagupta tenía de referirse a las operaciones con el cero no fue más que pulida y pulida durante los siglos, a medida que poco a poco dicha capacidad de abstracción calaba entre los nuevos matemáticos. No encontramos una manera elegante de expresarlo hasta tiempos de Bhaskara, siglo XII: “En adición del cero, o en substracción del mismo, la cantidad, positiva o negativa, permanece igual. Pero, substraida del cero, es invertida”. Por cierto que era hermosísima la manera de hacer matemáticas en este entonces: Bhaskara por ejemplo escribió un tratado de matemáticas llamado Lilavati, “Chica encantadora”, lleno de problemas como este: “¡Hermosa y querida encantadora chica, cuyos ojos son como los de un cervatillo! Si eres diestra en la multiplicación, cuéntame, ¿cuánto es 135 por 12…?”.
Al asunto al que quería llegar no obstante, si recordáis, era al de la relación entre cero e infinito. ¿Qué decía Brahmagupta acerca de la división con respecto al cero? En general, lo expresa de manera poco explícita. “Positivo o negativo dividido entre cero es una fracción con cero como denominador”. Cuando se moja, falla: “Cero entre cero es la nada”. En efecto, la existencia de una indeterminación cero entre cero no es tan lógica como a nuestros ojos se manifiesta una vez curtidos en herramientas matemáticas modernas. Mahavira, en el siglo noveno, falla aún más: “Un número permanece igual al dividirlo entre cero”.
Las colosales implicaciones de cero por infinito: Bhaskara, Arquímedes y Spinoza
Ahora bien, trescientos años más tarde, parece vislumbrarse un cambio. Bhaskara comienza fiel a Brahmagupta: “Una cantidad, dividida entre cero, se convierte en una fracción cuyo denominador es cero”. Pero luego continúa: “Esta fracción se denomina cantidad infinita. En esta cantidad que consiste en lo que tiene cero como divisor, no hay alteración, por mucho que añadamos o restemos; al igual que ningún cambio tiene lugar en el infinito e inmutable Dios cuando los mundos son creados o destruidos, por más que numerosos órdenes de seres sean absorbidos o desplegados”.
Por mucho que Arquímedes, más de mil años antes de Bhaskara, llegara a utilizar en su método de exhaución intuiciones que son equivalentes a este principio, y equivalentes a las que se encuentran detrás del cálculo diferencial e integral, a saber, la constatación de la indeterminación cero por infinito, o lo que es lo mismo, cero entre cero, no pudo dar a luz a la revolución que las matemáticas modernas supusieron en relación a la griega clásica por la carencia de una idea numérica de la nada: por no conocer el cero en la versión que Bhaskara pudo empezar a entender allá por el siglo XII.
La incapacidad de los griegos para dotarse del número cero, tal y como hicieron los indios, supuso retrasar avances matemáticos, y, por ende, físicos, mil quinientos años. No lo digo yo, sino el mismísimo Gauss, quien, a propósito de Arquímedes, refirió: “¿Cómo pudo no darse cuenta? ¡Qué alturas habría alcanzado la ciencia a día de hoy si hubiera llegado a ese descubrimiento!”.
El poder del cero y el infinito se deduce de la ley tan elemental de que cualquier cantidad finita distinta de cero entre cero es infinita: cualquier número, incluyendo al cero y al infinito, es, potencialmente, cero por infinito. Donde hay cero, si hay finitud, hay infinitud, y donde hay infinitud, si hay finitud, hay cero. Y si hay finitudes distintas, como cero siempre es el mismo, hay inevitablemente infinitos de infinitas clases.
Esto, incluso después de tantos siglos debatiendo sobre lo infinito, cosa que sí se hizo en Occidente, en el seno de la religión, no parecía comprenderse, con figuras tan tardías como Spinoza todavía declarando que no hay dos infinitos distintos. ¿Cómo vas a construir una metafísica y una ética sólida a partir de este tipo de presupuestos, sin haber reflexionado verdaderamente sobre el germen de nuestra comprensión sobre lo infinito, que es el cero?
Cero e infinito: de la religión a la matemática (y viceversa)
Ahora bien, si cantáramos a los cuatro vientos la boutade de que la teología aprendió de la matemática cuanto no comprendía del infinito, tan recientemente como en el siglo XVII, habrá que añadir que este, al menos, es solo el caso de Occidente. En Oriente parece que las cosas fueron de otra manera. Y no es casualidad que los matemáticos indios fueran los primeros en explicar el funcionamiento aritmético del cero.
Ya leímos antes a Bhaskara, comparando al infinito con Dios. En las Upanishads, textos medulares de la tradición hindú, encontramos la declaración de que “En lo finito no hay felicidad. Sólo lo Infinito es felicidad”. Si el cero se encuentra tan relacionado con lo infinito, lo infinito tan relacionado con lo divino; si lo infinito (a diferencia de en los mundos griegos y cristiano, de Universo finito, y no eterno, sino creado, respectivamente), todo lo copa en el seno de las religiones indias, cabe esperar una preponderancia total de su conjugado, la nada, el vacío, la vacuidad. Es ya un estereotipo decir esto, pero no es menos cierto que los indios pusieron el vacío al servicio de sus intereses, como ya decíamos. Y esto les hizo comprenderlo de una manera muy diferente a la de los griegos, mucho antes de que el cero naciera en matemáticas.
La noción de que todo es vacío, habida cuenta de que nada es independiente, como idea filosófica sería pobre si se quedara en un plano intelectual. Ahora bien, gracias al conocimiento de esa vacuidad, puede alcanzarse la infinitud: el Nirvana budista, por ejemplo, un estadio de no condicionamiento, de cero restricciones, de integración de la naturaleza fundamental del mundo, que es la vacuidad, es por definición un estado ilimitado.
A la manera como un físico entiende que, dada una dimensión finita, con cero restricciones, con cero ecuaciones de ligadura, la partícula, por ejemplo, tiene infinidad de posiciones posibles, así mismo el budismo comprende la vacuidad, el cero, como una oportunidad para lograr estados divinos.
Sin este interés tan práctico que las religiones orientales depositaron en la noción de vacío, quizás hoy no dispondríamos de las herramientas de que ahora se vale la física, por ejemplo, para entender qué es eso de los grados de libertad. Es una noción que ahora no nos lo parece, pero que es sumamante abstracta a ojos de un matemático griego. ¿Por qué? A eso vamos ahora.
Platón y el supuesto nihilismo budista
En el libro canónico sobre este tema Cero: biografía de una idea peligrosa, de Charles Seife, se asume una postura completamente reduccionista con respecto al problema del cero en occidente. Se agarra a la idea de horror vacui, el horror al vacío, para presentar un Occidente supersticiosamente opuesto al cero, y un Oriente salvador gracias a su profunda comprensión de lo infinito y lo vacío. Yo soy de una tesis mucho más blanda. Y es la que ahora os voy a exponer.
Como dije al comienzo, Occidente tiene una tradición rica en estudiar la nada. La raíz de la confusión se limita a no haber sabido sacar partido de esa nada. Parménides hablaba de que el no ser no es, pero, evidentemente, el cero es, en algún sentido, y el vacío también.
Si asumimos que el vacío es no ser, no puede haber vacío, y quizás esa es la idea a la que llega Aristóteles, y que retoman todos los filósofos medievales. Pero por supuesto que hubo tradiciones, como la atomista, que comprendieron el significado físico del vacío como nosotros lo hacemos hoy día.
Platón, en su diálogo Parménides, hilando fino, llega a la conclusión de que todo lo que existe es una combinación de ser y no ser, puesto que es algo, pero a la vez no es tantas otras cosas. Pues bien: el vacío es la cualidad del no ser todo lo demás. Incluyendo de no ser el no ser. Más allá de este trabalenguas, fijémonos en que el cero posee la misma propiedad. No es que el cero no sea, es que no es ninguna cantidad, tampoco la no cantidad.
Esta idea de Platón, un tanto oscura, como el diálogo en que se inscribe, parece no haber calado más que intelectualmente, y es probable que ni eso. En la tradición budista, por contraposición, se llega a una integración mucho mayor de este principio. Desde nuestra perspectiva, si los budistas dicen que todo es vacuo, y que el Nirvana es la consumación de la comprensión de esa vacuidad, pareciera que defienden una tesis nihilista: nada es. Pero ya desde tiempos de Nagarjuna los filósofos budistas se han cuidado muy mucho de definir claramente los términos entre los extremos esencialista y nihilista, cosa que no comprendieron Schopenhauer y Nietzche. Ni bien es que nada sea, ni bien es que algo sea completamente. Es justo lo que decía Platón, pero extendiendo a todo la lógica que aplicamos a lo que es el cero.
Desde una perspectiva dualista, usual en el mundo occidental, sin embargo, hay que elegir entre ser y no ser: ¡no! El budismo dice: ni es, ni no es. Igual que el cero. Y esta es una idea poderosa, porque nos permite ser prácticos, ya no en el cultivo de las cualidades de un ser iluminado, sino en estudiar nuestro mundo físico. De hecho, tan útil es no solo ya el cero, sino este camino medio entre no ser y ser, que debates bastante parecidos suelen aflorar en torno a los fundamentos de la física cuántica, aunque eso ya es otro tema.
El sistema posicional: babilonios, griegos, mayas e indios
En cualquier caso, después del camino tortuoso que hemos seguido los últimos minutos, toca volver a problemas matemáticos concretos. Ya sabemos que los indios inventaron el cero tal y como hoy día lo conocemos, y que los griegos nunca vieron en la nada la utilidad que podía albergar. Pero es que, francamente, tampoco parecía posible que así fuera, dada su concepción de la matemática.
La matemática griega era esencialmente geometría. El hecho de que los irracionales surgieran como entidad matemática en Grecia y no el cero ni los números negativos es consecuencia directa de esto: ¿qué significa un rectángulo de área negativa?
Ahora bien, esto no significa que no hicieran uso de al menos una de las potencialidades que tendría lo que luego los indios dieron en llamar cero. (Por cierto, un inciso: cero viene de sunya, vacío en sánscrito, por mediación del árabe sifr, y luego el latín cephirus. El motivo de que de cephirus también provenga el vocablo cifra lo discutiremos luego).
Nuestro sistema numérico, directamente proveniente del indio, es posicional. Eso quiere decir que, en función de la posición que una cifra ocupe en un número, dicha cifra significa un valor u otro. Un 1 en la posición máximamente derecha indica 1, pero si lo desplazamos a la penúltima posición indica 10, y así sucesivamente, 100, 1000, etc.
Se trata de un sistema que adoptaron independientemente algunas civilizaciones, como la babilonia o la maya, y que para cálculos aritméticos de gran envergadura supone una ventaja significativa, aunque no determinante. Esto último es motivo es que se puede complementar un sistema no posicional con ábacos y tablas de conteo. De esa manera, precisamente, se las ingeniaron los matemáticos griegos en particular, y los europeos en general, durante más de un milenio. Adolecían de haber adoptado los rudimentarios sistemas griego y romano respectivamente: sistemas completamente inacordes al desarrollo que por otro lado había experimentado la matemática en Grecia, que no en Roma.
Pero los matemáticos griegos, Ptolomeo inclusive, recurrieron a menudo a la conversión de sus problemas al sistema babilonio, donde eran mucho más fácilmente resolubles, por sus magníficas propiedades. Ese es el motivo por el que, todavía hoy día, expresamos los grados y el tiempo en forma sexagesimal. Si estáis interesados en el sistema sexagesimal babilonio, una verdadera joya incluso en comparación a nuestro sistema decimal indoarábigo, os remito de nuevo al vídeo sobre el nacimiento de las matemáticas, que en buena medida es la primera parte de este vídeo.
Ahora, ¿qué tiene que ver el cero con todo esto? Resulta que el mismo símbolo en el sistema de numeración babilonio, al ser posicional, puede denotar 1, 60, 3600, y sucesivamente, a la manera como en el nuestro el 1 puede denotar 1, 10, 100, etc. Si el mismo símbolo representa 1, 60 y 3600, cuando están solos, ¿cómo diferenciarlos? ¿O cómo diferenciar por ejemplo el 3601 y el 3660? Exacto: con un símbolo adicional, que significa algo así como “aquí no hay cifra”. Un hueco. Un vacío entre cifras. Ese es, en realidad, el nacimiento del cero.
Los mayas, curiosamente, tenían un símbolo concreto para el cero, y su noción, que también aplicaban al calendario (cosa que no pudieron hacer los europeos, y que les dio inmenso comederos de cabeza durante siglos), es más cercana a la de un cero numérico que la mera notación babilonia, aunque tampoco hacían aritmética con él, mérito, como hemos dicho, de los indios.
Pues bien, como decía, los griegos de la época helenística conocían bien el sistema babilonio, y, aunque nunca les diera por reconvertir su sistema a uno posicional, hicieron uso intenso del sistema sexagesimal para problemas concretos. Claro que, entonces, si por ejemplo querían expresar 42 grados y 31 segundos, se toparon con el problema de cómo representar la carencia de minutos. Pues bien, la notación adaptada del cero posicional babilonio empleada por los griegos fue una o, un circulo hueco, casi igual que nuestro cero actual.
En el libro La nada que es: historia natural del cero, de Robert Kaplan, podéis encontrar una extensa discusión acerca de a qué se deberá esta notación, así como el hecho de si se encuentra detrás del punto que luego los indios utilizarán en su sistema posicional, y que finalmente se convertirá en el cero numérico que tenemos hoy día. Sería una hipótesis no poco plausible que el cero posicional, un mero símbolo, sin nombre, hubiera viajado primero de Babilonia a Grecia, y luego de Grecia a la India, para en la India convertirse en un número con todas las de la ley, y después retornar a Europa un milenio más tarde, permitiendo la revolución científica que todos conocemos en materia de física, no casualmente coincidente con el surgimiento del cálculo diferencial.
Panini y el cero gramatical
Sin embargo, creo que en el libro de Kaplan se peca de todo lo contrario que en el de Charles Seife. Por todos los medios se trata de restar importancia a los descubrimientos indios, en aras de una supuesta objetividad que en realidad solo está velando hipótesis no confirmadas. Vale que no todo viene de la India, que es posible que el motivo de que allí haya surgido el cero haya sido una cuestión azarosa, pero tampoco se trata de irse al caso extremo.
En cualquier caso, lo que sin duda no es materia de discusión es que el cero gramatical, cuyo funcionamiento trasciende al del cero posicional que acabamos de comentar, nace en la India, hace 2500 años, de la mano del primer gran gramático sistemático de la historia, Panini. El rol de Panini en su campo es comparable al de Euclides dentro del contexto de la geometría: supone el primer intento de formalización de toda una disciplina, el proceso de inducción que todo lo abstrae para deducir a partir de unos principios básicos el resto de la casuística.
Al igual que los silencios poseen significado a pesar de no constituir palabras (¡ya lo creo si lo poseen!), de esa misma manera la no existencia de un determinado morfema implica una significación concreta de la palabra. En español, por ejemplo, la ausencia de una -s denota singular, y la ausencia de una -a, por ejemplo en el sustantivo gato, denota masculino; no es la -o la que significa masculino, sino la ausencia de la -a, al ser el femenino el género marcado.
La abstracción de considerar géneros marcos y no marcados, y de tomar al vacío como un morfema en sí mismo es análogo al de dotar al cero posicional de un estatus concreto en el mundo numérico; el cero gramatical es tan morfema como la -s, por ejemplo.
Se encuentra en el mismo plano, a diferencia de lo que ocurre con una coma y una letra. Así, podemos establecer la analogía siguiente, que creo que es bastante clarificadora: el cero posicional babilonio y griego es a los números lo que los puntos y comas son a las letras, mientras que el cero indio es a los números lo que el cero gramatical de panini es al resto de morfemas, una entidad más, junto a ellas.
El cero y el nacimiento del álgebra
Sin embargo, por desgracia, no hubo ningún Panini de la matemática que cobrara conciencia de esto de manera concreta. Parece haber sido algo más bien orgánico, una evolución oscura que tuvo lugar entre el tiempo en que los babilonios comenzaron a denotar su cero posicional y ya el siglo VI con Brahmagupta.
Sin duda esta evolución tuvo lugar en la India, y quizás contribuyera a esta dotación de significado a la “nada”, en tanto que número, la gramática estructural de Panini, aunque es solo una hipótesis aventurada. Al fin y al cabo, no lo sabemos, aunque parece lógico que, si los indios ya estuvieron dispuestos a hacerlo con la gramática, ahora no tuvieran inconvenientes a hacer lo mismo con la matemática.
Sea como fuere, a lo largo de esta evolución, el cero parece haber surgido paralelamente a la noción de incógnita. Si recordáis antes, dije que de la palabra sánscrita para vacío, sunya, proviene la forma latina cephirus, y de ahí beben los vocablos cero y cifra. Cifra se refiere a cualquiera de los 9, y junto al cero, 10 números que posee nuestro sistema. ¿A qué viene este doble significado de una etimología común?
El álgebra nace en el mundo indoarábigo, con preguntas del estilo “qué cantidad es tal que al doblarla es igual a ella misma al cuadrado”. Una forma concisa de expresarlo es utilizando una notación que exprese esa cantidad desconocida. Esa cantidad desconocida, la incógnita, puede poseer cualquier valor. Como los indios trabajaban con los números enteros, era inevitable que algunas de esas incógnitas de sus problemas fueran “la nada”. Esto, sin duda, contribuyó a que el cero adquiriera el estatus ontológico de número, pues no había ningún motivo para considerarlo al margen de los demás.
La adopción del cero en Occidente: álgebra y aritmética
Por otro lado, ese sentido de que la incógnita podía ser cualquier cosa, inclusive el vacío, sunya, hizo que perdurara en Occidente la identificación del cephirus con la incógnita a resolver de las ecuaciones. ¿El motivo? Que el cero, en Europa, más que para problemas algebraicos, no tenía sentido. Al fin y al cabo, los problemas aritméticos podían resolverse muy bien por medio de ábacos y tableros de conteo. La idea de cephirus acabó indisociablemente unido al de incógnita en una ecuación, pues solo en ese contexto parecía tener sentido considerar al cero una cantidad. Por eso todavía hablamos de los ceros de una ecuación, refiriéndonos a sus raíces: en realidad es como decir el “cephirus” de la ecuación, la “cifra” que hace que la ecuación se cumpla.
Esta consecutiva adopción del cero para cuestiones algebraicas fue, después, seguida de la del sistema numérico indio, por mediación islámica, con mucha resistencia y lentitud. El motivo es que era un modo completamente diferente de proceder con respecto a los cálculos habituales. Tantos fallos cometían los que se aventuraban a utilizar la aritmética con el nuevo sistema, que en Francia existía para referirse al hecho de calcular mal algo, la expresión “faire par algorisme”, hacer por algoritmo, que era como los europeos llamaban a esta forma de calcular las cosas.
Se decía así, por cierto, debido al padre del álgebra, matemático de Bagdad en el siglo noveno, Al-Juarismi, cuyo nombre derivó en algoritmo. En su principal tratado se sintetizan conocimientos matemáticos de las tradiciones india y griega, añadiendo buena parte de su propia cosecha. Explica cómo hay que usar el cero, aunque más como signo e incógnita que como número. El libro empieza por la palabra al-jabr; de ahí, álgebra.
Fibonacci y la contabilidad de doble entrada
¿Pero cómo tuvo lugar la llegada de estas ideas desde la India, y, más inmediatamente, desde territorios islámicos? En buena medida, gracias al intercambio cultural en la península ibérica, que fue durante al menos trescientos años un puente fundamental de conocimientos entre no solo Europa occidental y el islam, sino también un pilar en la recuperación de antiguos conocimientos griegos sobre los que los científicos árabes habían reflexionado.
Por otro lado, también fue gracias a los comerciantes, muchos de ellos italianos. Viajando, pudieron fijarse en la diferencia entre los modos de conteo y aritmética en las diversas regiones del Viejo Mundo. El caso más célebre e importante fue el de Fibonacci. Este es un personaje bastante interesante del que quizás convenga hacer algún vídeo en alguna ocasión, si os apetece. A él le debemos el principal impulso, por tímido que fuera hasta bien entrado el siglo XIII, del uso del sistema numérico indio en Europa.
Aun así, no penséis que los trabajos de Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara, en los que el cero ya estaba plenamente incorporado al sistema numérico indio, llegaron con Fibonacci a Europa. Desgraciadamente, Fibonacci se refería únicamente a los números del 1 al 9, mientras que al cero lo trataba, todavía, como a un signo. Habría que esperar hasta los siglos XIV y XV para el arraigo del cero como número tal y como comenzaría a usarse en el álgebra, y en menor medida, en la aritmética, como hemos explicado. Tan tarde como en el siglo XVI, todavía no se había logrado la total absorción del nuevo sistema numérico.
El caso de los comerciantes fue, curiosamente, distinto, y, aún más, decisivo. La necesidad de mantener una contabilidad precisa en un contexto de creciente complejidad de datos condujo en Italia, en algún momento antes de 1340, a la invención de la contabilidad de partida doble. Era una cosa simplísima: colocar en una misma página del libro comercial los créditos y débitos, distribuidos en columnas paralelas. Si la diferencia entre ambos era cero, el balance se consideraba perfecto, un testimonio de que las cuentas habían sido llevadas con exactitud.
Pero el papel del cero en este sistema trasciende la simple aritmética. Adopta una nueva máscara: el punto de equilibrio. Es el mediador entre las cantidades negativas y positivas. Este marco de pensamiento, tan sumamente práctico, contribuyó a dotar a los números negativos de una realidad tan tangible como la de sus contrapartes positivas. Recordemos el rechazo filosófico hacia los números negativos que comportaba la noción geométrica de la matemática de que aún eran rehenes los europeos, heredera de los griegos. El avance de los negativos, fundamental para dotar al cero de su verdadero sentido, como ya habían asumido los indios casi un milenio antes, aquí se dio por motivos económicos, curiosamente. Los comerciantes entendieron antes y mejor los números negativos y el cero, en Europa, que los mismos matemáticos, a la manera como los sacerdotes hindues y lamas budistas indios, a buen seguro, entendieron mejor la noción de lo infinito y lo vacío que los primeros matemáticos indios.
Incluso Newton, padre del cálculo diferencial, junto a Leibniz, todavía se encontraba sumamente apegado a la noción geométrica de las matemáticas en sus Principia mathematica. Y esto por no hablar de Descartes, que, como dijimos, en el siglo XVII todavía rechazaba los números negativos, considerándolos solamente útiles desde un punto de vista estrictamente algebraico. Increíble a nuestros ojos, ¿verdad?
Cierre
Como veis, nos encontramos ya a las puertas de aquello que el cero pudo permitir, a saber, el desarrollo de toda una extensión de la matemática a los terrenos de lo infinitesimal, para luego, sumando infinitamente, integrando, encontrar propiedades sobre objetos matemáticos irregulares, que no podían explicarse únicamente con geometría estrictamente lineal.
Aquí entran en juego ya los debates filosóficos sobre la deriva que la matemática tomó hasta la formalización de estos principios tan prácticos, que tan bien funcionaban, allá por el siglo XIX. De los primeros pasos en esta formalización, como os dije antes, ya hemos hablado en el vídeo que en este canal tenemos sobre los números reales, que podéis encontrar en la descripción. Ese vídeo es casi una continuación de este, pero es que este es una continuación de otro, porque como habéis podido fijaros, el cero fue el último de los números naturales en llegar a la palestra: ¿cómo fue la historia de los anteriores? Ahí la tenéis. Por hoy no tengo ya NADA más que decir, nunca mejor dicho. Espero que os haya gustado el vídeo, y si tenéis alguna sugerencia sobre temas, podéis dejarla en los comentarios. Ojalá no sean cero, sino infinitas…
Descripción:
El cero es el pilar de la matemática moderna y contemporánea, junto a su conjugado, el infinito. Exploramos aquí su origen indio, poniéndolo en relación a la invención previa del cero gramatical, a la integración aplicada de la noción de vacío en las religiones hindú y budista, analizando las diferencias con respecto a la tradición griega. Se defiende la tesis de que subyace en el problema la confusión vacío-no ser, derivada de un excesivo dualismo que las tradiciones orientales siempre procuraron evitar. Aunque la clave estuvo a punto de darla Platón, la visión aristotélica perduró, y el descubrimiento del cero, indispensable para la revolución científica, paralela al desarrollo del cálculo diferencial, se retrasó mil quinientos años (en Europa).
Bibliografía recomendada:
– Seife, C. (2000). Zero: The biography of a dangerous idea. Penguin Books.
– Arnau, J. (2017). Budismo esencial. Alianza Editorial.
– Kaplan, R. (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford University Press.
