El descubrimiento de los números irracionales por parte de los pitagóricos, según nos cuenta Platón, supuso una verdadera conmoción entre la comunidad matemática griega. ¿Cómo va a haber longitudes que no podemos medir en relación a otras? ¿Cómo algo tan simple como la diagonal de un cuadrado no va a poder ser exactamente medible a partir de la medida de su lado?
Esta crisis jugó un rol crucial de cara a la construcción mucho más fundamentada que de la ciencia matemática hicieron los griegos, precisamente lo que le imprimió el carácter deductivo que todavía posee.
Pues bien, algo similar, salvando las distancias, tuvo lugar a finales del siglo XIX y principios del XX, pero, esta vez, ante la cuestión mucho más abstracta de cómo medir conjuntos infinitos. ¿Qué criterios nos harían construir esa forma de medir y no otra? ¿A todos los conjuntos se les puede asociar una medida?
Ambas preguntas se encuentran al inicio del nacimiento de las matemáticas tal y las conocemos ahora, pues solo ante aparentes paradojas como la siguiente se ve algún sentido a todo el trabajo detrás de la fundamentación de las mates. Sí: desde un punto de vista estrictamente matemático, por ejemplo, se puede demostrar que un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol. Nuestra intuición geométrica puede no tener nada que ver con aquello a lo que da lugar nuestra razón, a la manera como la física cuántica simplemente es imposible de concebirse de acudir exclusivamente a nuestra percepción. Y algo muy similar ocurre con la noción de longitud, área, volumen y medida en general. A este es el tema al que vamos a dedicar este vídeo: a ver cómo y por qué surgio toda esta historia.
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CERO POR INFINITO: EL MOTIVO DE SER DE LA INTEGRAL
Está claro que medir un conjunto finito no tiene ninguna dificultad. El concepto de cardinalidad, número de elementos de un conjunto, es la raíz misma de las matemáticas, y solo de ahí se llega a la elaboración abstracta del concepto “número”, por medio de unas dificultades de las que a menudo no somos conscientes. Si estáis interesados en este tema, ya hay un vídeo en este canal que dedicamos a estudiar el origen histórico y antropológico de las matemáticas.
En cuanto a los conjuntos infinitos, la historia cambia radicalmente. Podríamos preguntarnos que qué importancia tiene esta pregunta: ¿para qué querríamos medir un conjunto infinito, más allá de a modo de frikada matemática? Bueno: resulta que nuestra intuición de lo que es un punto, de lo que es una recta, de lo que es un plano, condicionada plenamente por la matemática a partir de Euclides, asume una noción de lo continuo, y en el continuo asumimos una infinidad de puntos de un tamaño nulo, quiera esto significar lo que quiera significar, de manera que incluso en la medida de una longitud o un área, en el fondo no podemos disociarnos de la idea de que aquello se trata de un conjunto de infinitos puntos de extensión cero. Pero, claro está, infinitos puntos de nula extensión pueden dar lugar a una medida de 1, de 4, de 8, o de 8000, pues el producto de cero por infinito a priori es una indeterminación. Ahora bien, por medio de una suma infinita de trocitos infinitesimales realizada de una manera ordenada llegamos a la noción de integral, que resuelve dicha indeterminación, y, aunque no se formalizara hasta bien entrado el siglo XIX, es la manera tácita de cálculo que lleva usándose desde tiempos de Arquímedes para saltar al cálculo de áreas y volúmenes diferentes de los elementales que se dan en la primaria.
De hecho, el nacimiento de toda esta cuestión de cómo medir conjuntos infinitos surge precisamente a partir del análisis, concretamente, de las dificultades en la formalización que de ese cálculo integral se procuró durante siglos. Por cierto que, hasta que no se supo con una mínima precisión qué era el continuo, y qué eran exactamente las funciones continuas, no pudo avanzarse un ápice en esta cuestión, y ese es precisamente el tema de otro de los vídeos que tenemos en este canal: el desarrollo histórico y matemático de aquello que distingue a los números reales de los racionales, a saber, el continuo, con todo lo que eso implica en distinguirlo de características como la densidad. Os aconsejo encarecidamente que visualicéis ese vídeo sobre los números reales, para que no os perdáis en la línea histórica ni conceptual a lo largo de este, por más que vaya repasando las nociones clave que vamos a necesitar.
OSCILACIÓN, INTEGRAL DE RIEMANN Y CONJUNTOS INFINITOS
La primera definición consistente de integral es la que ofreció Riemann allá por la década de los 50 del siglo XIX. Se corresponde con la que se enseña en el bachillerato: la aproximación del área de una región delimitada por una función a partir de una suma de rectángulos con bases la longitud de los trozos de la partición del eje de abscisas, y de altura o bien los mínimos de la función en ese intervalo, o bien el máximo. Cuando hacemos la partición cada vez más fina, los máximos y los mínimos tienden a igualarse hasta hacerse cero en bastantes puntos, si la función es integrable Riemann, que no tiene por qué serlo.
Pensemos en una función definida en un intervalo acotado y cerrado. Si es continua se va a cumplir lo que acabamos de decir en todos los puntos, y por tanto nuestra función es directamente integrable. Nótese la diferencia que esto representa frente a la derivabilidad, que no solo requiere de la continuidad.
De hecho, podemos ir mucho más allá. Si nuestra función es discontinua en un número finito de puntos, es cierto que en esos puntos hay una oscilación distinta de cero, pero ese conjunto es lo suficientemente pequeño para que la función sea Riemann integrable. Y aquí surge la duda: ¿cómo de pequeño tiene que ser? Porque si tenemos un número infinito de discontinuidades, habrá un número infinito de puntos en los que la oscilación es positiva; ¿soportará la definición de la integral de Riemann el comportamiento de una función tan sumamente mala?
Cabe destacar por un momento que sin el interés extravagante que los matemáticos pusieron en este tipo de funciones, que ni siquiera se consideraban tales en el siglo XVIII, no se habría procedido a un análisis tan minucioso de los conjuntos de llegada y partida sobre los que se integraba, y difícilmente hubieran nacido la teoría de conjuntos y la topología, ergo tampoco la obsesión por los cimientos de las matemáticas que hubo a lo largo del siglo XX, simultáneo al nacimiento de la filosofía analítica. Para que veamos el impacto que puede tener, en este caso en el pensamiento (aunque también en sus aplicaciones, por ejemplo a la física cuántica el nacimiento de la teoría de la medida); digo, el impacto que puede tener una forma de discusión en principio no muy diferente a las bizantinas en torno al sexo de los ángeles.
Nosotros no nos vamos a marear demasiado de todas formas. Pongamos por ejemplo la función de Weierstrass, continua en todo el intervalo donde se define, pero no derivable en ningún punto. Con respecto a esta, aunque extraña y contraintuitiva, no hay ninguna duda, es integrable por ser continua. La pregunta más interesante podría ser ¿y qué sucede con la función de Dirichlet, una función que vale 1 en todos los racionales y cero en todos los irracionales, y que es por tanto discontinua en todos los racionales?
¿QUÉ HACE NO INTEGRABLE RIEMANN A LA FUNCIÓN DE DIRICHLET?
Analicemos por un momento el conjunto donde la función de Dirichlet es discontinua para saber qué ocurre a la hora de integrarla. El caso es que sabemos que los números racionales no forman un continuo, a pesar de que son densos, es decir, que cualesquiera dos números que tomemos en la recta real, siempre va a haber uno racional entre ellos dos. Podríamos pensar que la diferencia entre los racionales y los reales se debe al hecho de que los racionales son solamente numerables, es decir, que podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los naturales y los racionales, mientras que a los reales no le podemos aplicar dicha biyección. Pues bien, esto tampoco tiene nada que ver, porque, por ejemplo, los irracionales son densos y no numerables, pero no forman un continuo. Tampoco se debe a la cardinalidad: los irracionales tienen la misma cardinalidad que los reales, es decir, existen infinitamente veces más irracionales que racionales, pero “tantos irracionales como reales”. Topológicamente, tampoco se debe al número de puntos de acumulación del conjunto en cuestión, a saber, al número de puntos no aislados: puntos tales que para todo abierto que cojamos y que lo contenga, posee más elementos del conjunto en cuestión distintos de él.
La respuesta la ofrece el axioma de completitud, tema que doy por explicado en el vídeo de los números reales, donde tenéis una explicación histórica detallada de todas las confusiones que había en torno a estos conceptos. Lo interesante en este caso es reiterar que todas estas formas de elaborar la medición de los conjuntos, cardinalidad, numerabilidad, densidad, puntos de acumulación y continuo son en general incomparables entre sí, y, para más inri, inútiles de cara a una medición que se corresponda con las que efectuamos intuitivamente. Por descontado, aunque esto solo podemos decirlo a posteriori, tampoco son un criterio válido para la cuestión que nos preguntábamos, puesto que la integral es en realidad el instrumento de medición que se va a corresponder con esa intuición, al menos en la mayoría de casos.
CONTENIDO EXTERIOR Y PROBLEMAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
Bueno, y entonces, ¿qué ocurre con la integral de la función de Dirichlet, después de todo este rodeo? Ya se había visto para este momento que era necesaria la condición de que el conjunto donde la función es continua fuera denso, pero realmente no era una condición suficiente. La genuina respuesta solo llegó con el así llamado contenido exterior. Cuando el contenido exterior del conjunto donde una función posee oscilación positiva es igual a cero, la función es integrable Riemann, y viceversa. En el caso de la función de Dirichlet, el contenido exterior va a resultar ser uno en el intervalo [0,1], es decir, que no es integrable Riemann. Quedaros de momento con esto: ya definiremos después con más precisión el contenido exterior de un conjunto. El chiste es que si en vez de usar el contenido a la hora de construir la integral, utilizamos una medida diferente, podríamos hacer que esta función fuera integrable. Pero este es el tortuoso camino que tuvo que recorrer el análisis durante las últimas décadas del siglo XIX, y que vamos a desglosar en lo que queda de vídeo y el siguiente que haremos en torno al asunto.
Allá por 1880 y 1890 la integral de Riemann ya se había topado con una serie de inconvenientes que planteaban la necesidad de una mejor definición de la integral. En primer lugar, en principio la integral de Riemann solo estaba definida para funciones acotadas en intervalos acotados. En realidad Riemann previó desde el principio una solución para este problema considerando la integral impropia, pero desde luego se veía como una solución ad hoc, y además precisaba que el conjunto de puntos donde la oscilación no estaba acotada fuera de contenido exterior cero, naturalmente.
Por otro lado, la función integral obtenida al integrar podría no ser derivable en un conjunto denso de puntos, lo cual contraviene totalmente la idea de que la función que se integra es la derivada de su integral. Recíprocamente, para hacer todavía peor las cosas, uno podría tener una función derivable cuya derivada no fuera integrable Riemann.
Un asunto más preocupante es que el límite de una sucesión de funciones acotadas e integrables pudiera no ser integrable, y que a la hora de hacer una serie, es decir, una suma infinita de integrales, la integral de la serie no fuera la serie de las integrales, lo cual dificultaba enormemente la manipulación de series de Fourier. La integral de Riemann, que como ya explicamos en aquel vídeo de los números reales, se proponía como ayuda en el trabajo con las series de Fourier, realmente no había sido todo lo versátil que uno habría esperado.
LA INTEGRAL DE WEIERSTRASS, CONTENIDO EXTERIOR Y ADITIVIDAD FINITA
Y así es como, en 1886, Weierstrass propuso una definición alternativa de integral. Imaginemos una función positiva y el área que delimita entre ella y el eje de abscisas en un intervalo acotado. Como es esperable, la integral debe coincidir con el área de esa superficie. Así que Weierstrass simplemente define la integral como igual a esa área. Si la función puede ser negativa, tomamos su parte negativa y la integral será la parte positiva del área que delimita menos la parte negativa del área que delimita.
Evidentemente aquí la cuestión estriba en saber a qué nos referimos exactamente cuando decimos “el área que delimita”. Y es aquí donde entra la definición del contenido exterior al que nos referíamos antes. Una función era integrable Riemann si y solo si el conjunto de puntos donde la oscilación era distinta de cero tenía contenido nulo; pues bien, esto querría decir que podemos poner ese conjunto donde se dan las discontinuidades en una unión finita de intervalos con medida todo lo pequeña que queramos. Análogamente, diremos que el área de una superficie es cero cuando podemos meterla en una unión finita de rectángulos de área todo lo pequeña que queramos, que está bien definida, porque el área de un rectángulo es directamente su base por su altura.
Pues bien, en general para entender el contenido exterior de un determinado conjunto, que también puede ser tridimensional o n-dimensional, tomamos todos los posibles recubrimientos de ese conjunto por medio de una unión finita de rectángulos, que por ejemplo en tres dimensiones serían paralelepípedos, y luego vemos cuál de esos recubrimientos tiene un menor área conjunta. Formalmente, el contenido exterior de un conjunto el ínfimo de todos los recubrimientos por uniones de intervalos finitos del conjunto. Por eso se le llama contenido exterior, porque hacemos el ínfimo de esas uniones finitas que lo contienen por fuera.
Así que la integral de Weierstrass ofrece una solución en términos de contenido exterior, que identifica con el área. Esto tiene la ventaja de que cualquier función acotada es integrable, lo cual es bastante decir. Pero claro, si hoy día no recordamos la integral de Weierstrass es porque, en efecto, tenía otro problema, y bastante gordo. Las integrales deben ser finitamente aditivas, naturalmente: en principio, el área de una región más el área de otra región debe ser el área de la suma de las regiones. Esto no ocurre con la integral de Weierstrass.
Por ejemplo, consideremos las funciones característica de los conjuntos irracional y racional de números entre 0 y 1, es decir, en un caso una función que vale 1 cuando x es irracional y 0 cuando es racional, y viceversa. Notemos que la segunda de estas funciones es la función de Dirichlet. El contenido exterior de los racionales entre cero y uno es uno, porque la menor unión finita de intervalos que puede contener a todos los racionales del intervalo [0,1] es el propio [0,1]; cualquier otra unión dejaría de contener a un racional, pues son densos en R. Ahora bien, al mismo tiempo, el contenido exterior del conjunto de los irracionales en el [0,1] es exactamente 1, por un motivo completamente análogo. Así que la integral de la primera función más la integral de la segunda función es 2, la suma de los contenidos exteriores. Pero si tomamos la integral y la suma de las funciones dentro, la suma de las funciones es la función característica en el [0,1], que evidentemente tiene contenido exterior 1, porque la menor unión finita de intervalos que contiene al [0,1] es él mismo, luego la integral de la suma de las funciones es 1. Uno es distinto de dos, así que la integral de Weierstrass ni siquiera es finitamente aditiva. Aunque estas dos funciones, que no son integrables Riemann, precisamente porque el conjunto en que son discontinuas es de contenido exterior a uno, sí lo sean respecto de las integrales de Weierstrass, habrá que despedirse para siempre de ellas, aunque algo de su enfoque, como vamos a ver, acabará permeando en la solución correcta al problema.
PEANO, JORDAN Y EL CONTENIDO INTERIOR
El siguiente matemático que hizo avanzar la cuestión fue Peano, que quizás os suene porque construyó parametrizaciones de curvas que cubrían superficies en dos dimensiones. Esto es de interés en análisis vectorial, un caso concreto del cálculo multivariable que logró ir formalizándose gracias a los avances que estamos describiendo. Otro motivo por el que deberíais conocerlo es por los axiomas de los números naturales que tratamos en el vídeo dedicado al nacimiento de las matemáticas del que os hablaba antes, donde establecemos una analogía entre el entendimiento de los naturales por parte de las tribus primitivas y la progresiva exploración de los fundamentos de las matemáticas en el siglo XX.
En cualquier caso, para lo que nos ocupa, Peano es relevante por introducir el contenido interior de un conjunto, obtenido de manera recíproca al contenido exterior pero por dentro, es decir, tomando el supremo de las uniones finitas de intervalos contenidas en el conjunto en cuestión. Peano llamó contenido al contenido exterior e interior en caso de coincidir, y en ese caso se diría que ese conjunto tiene área, si nos movemos en R2, por ejemplo.
O sea, que para Peano una superficie tiene área si y solo si su contenido exterior e interior coinciden, y en ese caso el área coincide con el contenido. Esto solo no ocurre si el conjunto en cuestión es lo suficientemente disperso. Se dirá que si se verifica la tal condición, el conjunto es Jordan medible, y al contenido se le pasa a llamar medida de Jordan, por representar una buena forma de medir el tamaño de ese conjunto en R, R2 o R3. ¿Y por qué aparece aquí el nombre de Jordan, en lugar del de Peano? Realmente, fue Jordan quien popularizó y formalizó el enfoque de Peano en su curso de análisis, tan pronto como en 1893; además, Lebesgue, que llegará tan solo al final de esta historia, estudió dicho curso. Por eso ha quedado fijado a él el nombre del concepto.
MEDIDA DE JORDAN, FUNCIÓN DE DIRICHLET E INTEGRALES DE DARBOUX
Es allí donde Jordan demuestra que el contenido exterior es igual al contenido interior más el contenido exterior de la frontera del conjunto, luego un conjunto es Jordan medible si y solo si el contenido exterior de la frontera del conjunto es cero, lo cual no ocurre solamente si, como dijimos, el conjunto es lo suficientemente disperso. Veamos esto con el caso que venimos arrastrando desde que apelamos a la función de Dirichlet, es decir, al conjunto de números racionales en el intervalo [0,1], que, efectivamente, es discreto, luego muy disperso; espero haberos convencido antes de que el contenido exterior era, efectivamente 1; en cuanto al contenido interior, podéis imaginaros que es cero, puesto que no podemos meter ningún intervalo dentro de un conjunto discreto como lo son los racionales. En consecuencia, se trata de un conjunto no medible Jordan, porque el contenido exterior de su frontera es mayor que cero, y, en tanto que tal, no se le puede asociar una medida concreta.
La pregunta está servida: ¿qué relación tiene esto con la no integrabilidad Riemann de la función de Dirichlet? Peano, quien había explicado cómo hacer uso correctamente de las llamadas integrales de Darboux, dio en la clave en su explicación. Integrales de Darboux no son más que las obtenidas al hacer la partición límite que realizábamos en la integral de Riemann, pero tomando los máximos o mínimos respectivamente. Me explico: la integral superior de Darboux, por ejemplo, es la integral obtenida al hacer el ínfimo de las sumas de rectángulos que pasan por encima de la gráfica al partir el eje de abscisas, mientras que la integral inferior es el supremo de las sumas de rectángulos que pasan por debajo de la gráfica de la función en cuestión. Por definición, una función es integrable Riemann si y solo si sus integrales de Darboux coinciden; pues bien, Peano observó que el valor de la integral superior de Darboux se correspondía con la medida exterior de Jordan, es decir, el contenido exterior del conjunto determinado por la función, mientras que la integral inferior de Darboux se correspondía con la medida interior de Jordan de dicho conjunto. Así, la función es integrable Riemann si y solo si coinciden las medidas interior y exterior de Jordan, a saber, si el conjunto determinado encerrado por el grafo de la función es Jordan medible.
BOREL Y LA ADITIVIDAD NUMERABLE FRENTE A LA ADITIVIDAD FINITA DE JORDAN
Esta comprensión permitía identificar cuál era el potencial problema de la integral de Riemann, a saber, que el contenido existe para demasiados pocos conjuntos, y algunos habituales, como los racionales en un intervalo acotado, no lo son. Y si bien el contenido exterior sí existe para todos los conjuntos acotados, lo cual es muchísimo decir, como comentábamos tenía el problema de no ser finitamente aditiva, y por eso no lo era la integral de Weierstrass. Este problema no lo tiene el contenido en caso de existir, pues sí es aditivo para los conjuntos medibles Jordan, y por eso la integral de Riemann es medible. ¿Existe alguna forma de montar una medida que concilie estos dos aspectos, a saber, el de ser aplicable a casi cualquier conjunto o a todos los conjuntos, y que a la vez sea finitamente aditiva?
Aquí entra en juego otro personaje crucial, Emile Borel. Borel observó que hay conjunto extraños y dispersos que aun no siendo medibles Borel pueden dotarse de una medida muy natural, a saber, la de su complementario. Imaginemos que el complementario de un conjunto es una unión numerable, no necesariamente finita, de intervalos disjuntos. Lo lógico es que el conjunto inicial sea la resta del conjunto total que los contiene y la suma de los intervalos disjuntos complementarios que constituyen la unión del complementario.
He aquí donde cobramos conciencia de cuál es el problema de la medida de Jordan, a saber, que solo es finitamente aditiva; si tenemos una unión finita de conjuntos disjuntos, la medida Jordan de la suma es la medida de la unión, y por tanto si nuestro conjunto fuera de forma que su complementario lo constituyera una unión finita de intervalos, en efecto, nuestro conjunto sería medible Jordan; pero eso restringe excesivamente la forma que puede tener ese conjunto complementario de cara a definir la medida de aquel con que trabajamos. Si añadimos la condición de que la medida se conserve por uniones numerables de conjuntos disjuntos, vamos a ver que llegamos a una construcción mucho más versátil.
Pensemos en el conjunto de los números racionales. Es lógico pensar que cada conjunto unitario de un racional posea medida cero, pues se trata de un intervalo de longitud cero. Así, si construimos la unión de todos los racionales e imponemos que la medida de la unión sea la suma de las medidas, puesto que los racionales son numerables, la medida de los racionales sería cero. En ese caso, la medida exterior e interior coincidiría, y nuestro conjunto desde luego sería medible.
EL PORQUÉ DE LA SIGMA ADITIVIDAD
A la propiedad de que la medida de Jordan se pudiera sumar en conjuntos disjuntos la llamábamos aditividad de la medida de Jordan. A la propiedad más exigente de que la medida de Borel se pueda sumar en conjuntos disjuntos la llamamos sigma aditividad de la medida de Borel. Ese añadido de la sigma es cuestión de diferenciación terminológica, pero se encuentra en plena correspondencia con un asunto que nos va a acompañar de ahora en adelante, y al que a estas alturas espero que se le vea un sentido mayor que a la manera como tradicionalmente se presenta este tema en los libros de texto sobre teoría de la medida. Como hemos dicho, el contenido, y por tanto la medida de Jordan, se construía a partir de uniones finitas de intervalos; la medida de Borel, por lo que hemos dicho, se construye a partir de uniones numerables de intervalos. Pues bien, se puede demostrar que cualquier abierto es unión numerable de intervalos, luego los abiertos son medibles Borel. Ahora bien, los complementarios de los abiertos, los cerrados, deben ser medibles, puesto que el total es medible, evidentemente. En esto, Borel había asumido que si un conjunto está en otro, su complementario en ese también es medible y la suma de la medida de ambas da el total. Ahora bien, si la complementación está permitida conjuntamente con la posibilidad de hacer uniones numerables, los que tengáis algún conocimiento de teoría de conjuntos sabréis que, por las leyes de De Morgan, también está permitida la operación de intersecciones numerables; como los abiertos son medibles, cualquier intersección numerable de abiertos es medible, aunque no sea abierto; y como los cerrados son medibles, cualquier unión numerable de cerrados, aunque no sea cerrada, será medible.
Todos los conjuntos de los que acabamos de hablar, y que hemos dicho que son medibles Borel, reciben el nombre de borelianos, y conforman una sigma álgebra. Una sigma álgebra es una familia de conjuntos que verifica que la unión numerable de conjuntos que están en ella sigue estándolo, y que es estable por complementación, es decir, que el complementario de todo conjunto sigue estando en la sigma álgebra. La definición de sigma álgebra, totalmente fuera de contexto, suele ser el punto de partida, como antes dije, a la hora de construir la teoría de la medida, y resulta de una artificiosidad total cuando no se comprende el desarrollo histórico que hay detrás.
Los borelianos son, como he dicho, una sigma álgebra, que permite que sea posible la sigma aditividad de la medida asociada a cualquier unión numerable que tomemos, y son la menor de las sigma álgebras que contienen a los intervalos cerrados. Evidentemente, todos ellos son medibles, por cómo hemos ido construyendo la propia familia en sí. De manera que tenemos que todos los abiertos, cerrados y sus uniones e intersecciones numerables son medibles Borel, lo que no es poco, pero sin duda no tanto como podría parecer.
LIMITACIONES DE LA MEDIDA DE BOREL Y ¿SOLUCIÓN?
En efecto, y aunque hay conjuntos Borel medibles que no son Jordan medibles, como los racionales, hay infinitamente más conjuntos medibles Jordan que Borel medibles. El cardinal de los conjuntos de Borel es el mismo que el de R, lo cual es bastante poco, habida cuenta de que el cardinal de los conjuntos Jordan medibles es el mismo que el de las partes de R. Aunque no creamos por esto que es fácil poner un ejemplo de conjunto medible Jordan que no Borel medible, curiosamente.
Otra limitación del enfoque de Borel fue el hecho de que, a diferencia de Jordan, nunca intentó aplicar su medida a la teoría de la integración, aquella por la que inicialmente había nacido toda esta discusión. Mientras que Jordan había enfocado plenamente su estudio del contenido a la aplicación sobre la resolución de integrales en varias variables, Borel, decía, “investigaba un problema totalmente diferente de aquel que atendía Jordan”. Así, no fue el mismo Borel quien acabara viendo todo el potencial de utilizar la sigma aditividad en lugar de la aditividad, y el sigma álgebra en lugar de la aditividad. Dicho rol acabaría jugándolo Lebesgue, alumno aventajado de Jordan, merced al cual disponemos de una teoría de integración versátil y funcional en varias variables y sobre espacios abstractos que van mucho más allá de los reales, por ejemplo, espacios de probabilidad.
Y sí, nos quedamos, como veis, justo con la miel en los labios, puesto que la respuesta a toda la cadena de problemas que hemos ido explorando históricamente a lo largo de este vídeo han quedado abiertas, sin resolver, y la respuesta la ofrecerá ese tal alumno aventajado; pero eso ya será en el próximo vídeo. Si, entretanto, os ha interesado este enfoque con que hemos abordado esta parte de la historia del análisis durante la segunda mitad del siglo XIX, en el vídeo ya referido de los números reales podréis informaros mejor de la época inmediatamente anterior, la primera mitad del siglo XIX, y si os gustaría remontaros a los cimientos prehistóricos y etnológicos de las matemáticas, podéis ver el vídeo sobre el nacimiento de las matemáticas. Gracias.
Bibliografía recomendada:
- Freniche Ibáñez, F. J., & Facenda Aguirre, J. A. (2022). Integración de funciones de varias variables (2ª ed.). Ediciones Pirámide.
- Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis
- Bressoud, David (2008). A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration
