La verdadera belleza de la Relatividad Especial de Einstein

No es de extrañar que los físicos sigan siendo tan profundamente platónicos. Quizás ya no actuemos como en tiempos de Kepler, intentando hacer encajar el universo en una serie de sólidos ideales, y quizás tampoco extrapolemos la noción de Idea Platónica a terrenos como el ético, pero sí operamos, por pura practicidad, como si el mundo que percibimos no fuera sino un juego de sombras proyectadas desde una realidad más profunda.

Y aunque esa realidad no tenga por qué tener nada que ver con las matemáticas, como tenemos el propósito de reconstruirla, pues así las aparentes leyes que rigen estas sombras no serán sino una consecuencia trivial y elegante de aquello que lo proyecta, nos damos de bruces con aquello en lo que siempre ha funcionado esta forma de trabajar, como, a mi pesar, bien adivinó Platón: las matemáticas.

Aquello que es propio de la física moderna ya no es estudiar objetos, sino sus relaciones: un platonismo relacional. A modo de ilustración de esta idea tan poderosa, hoy vamos a embarcarnos en el que es, a todos los efectos, el pistoletazo de salida de nuestra manera de comprender la realidad física hoy, que no es otra que la Relatividad Especial de Einstein, respecto de la que leyes tan mal explicadas como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud, la masa o la fuerza «relativistas», no son sino las sombras en nuestra particular caverna platónica.

I. Teoría de los invariantes y Erlangen

La realidad sensible del ser humano, la forma absoluta que tenemos de percibir el tiempo, y, en el sentido de las longitudes, el espacio, no son, naturalmente, sino un producto de que, como no nos movemos a velocidades cercanas a la luz (al menos no la noción que tenemos de nosotros mismos, porque en nosotros hay muchas cosas que se mueven muy rápido), no perdemos una nitidez de la realidad que sea verdaderamente significativa desde el punto de vista de la supervivencia.

Ser consciente de que la velocidad de la luz es un invariante para todos los sistemas inerciales no es relevante biológicamente; y, sin embargo, ese carácter absoluto implica un derribo sistemático de aquello que sí creíamos que lo era. Se trata de sustituir un absoluto aparente, biológico, por otro último y físico. Y no es poco importante esto de establecer qué es «lo absoluto» en física, porque, para el físico, todo lo que no es absoluto, que puede establecerse como postulado, es, en cierto sentido, relativo.

A Einstein, de hecho, le desagradaba profundamente lo que Planck y otros físicos hicieron con su teoría, al denominarla «Teoría de la relatividad»; él se lamentaba de no haber propiciado desde un comienzo el nombre «Teoría de los invariantes», que, como vamos a ver, le hace mucha más justicia, porque su gran acierto estriba en ver qué se preserva realmente en el universo ante transformaciones, frente a lo que parecía que se preservaba, pero que en realidad era relativo. De nuevo, bajo la idea de: vamos a ver qué es lo absoluto, y «lo demás» lo normal es que en general sea relativo.

Sería bastante ridículo definir una geometría por lo que no conserva, en lugar de por lo que conserva, por sus invariantes. Es más, a una geometría la conforman precisamente un conjunto, por supuesto, y un grupo de transformaciones que aplicamos sobre ese conjunto, y el estudio de esa geometría tiene su código fuente literalmente en el estudio de las propiedades invariantes para esas transformaciones.

Esta fue precisamente la propuesta del Programa de Erlangen, encabezado por Felix Klein allá por 1872, es decir, unificar el concepto de geometría bajo el estudio de los invariantes ante diferentes transformaciones.

Por ejemplo, en la geometría euclídea de toda la vida, la transformación es el grupo de las transformaciones rígidas, traslaciones y rotaciones, que preservan las longitudes, los ángulos; si yo roto unas tijeras, ni cambia la longitud de sus hojas, ni cambia el ángulo que forman.

Pues bien, a eso le llamamos isometría, y, concretamente, una isometría euclídea, porque lo que se preserva es nuestra noción de longitud, que coincide con la euclídea. Como veremos, el espacio-tiempo de Einstein también se define por una isometría, pero respecto de una métrica en apariencia no tan elegante, aunque en realidad sí lo es.

Por cierto que fue Felix Klein, el mismo de este Programa de Erlangen, el que en 1910, cinco años después de la publicación de Einstein, y ya posteriormente al trabajo de Minkowski, que es el que le da el empaque matemático con el que hoy trabajaremos a las ideas de Einstein, digo, fue Felix Klein el de la propuesta de llamar a la teoría de Einstein Teoría de los Invariantes, y el propio Einstein prefería ese nombre al que se le acabó dando.

Sin embargo, definir una geometría por lo que es relativo, frente a lo que es absoluto, es precisamente el error en que hemos incurrido terminológicamente al hablar de la Teoría de la Relatividad. El acierto de Einstein, no sin cierta inyección de elegancia por parte de Minkowski, como digo, porque Einstein era un poco bruto en su forma de operar matemáticamente; pero el acierto, digo, fue saber qué cosa, en el universo, debe tomarse como verdaderamente absoluto, e imponer esa regla a todos los observadores.

En el caso de la Relatividad Especial, a los observadores inerciales, es decir, los que no aceleran, quienes, y a diferencia de en la mecánica newtoniana (donde está todo metido un poco con calzador) se definen también de manera absoluta y elegante, imponiendo la condición de oro de la geometría del espacio-tiempo especial, como también veremos después.

II. Aristóteles, Galileo y la intuición

No es hasta que cogemos las ideas de Galileo sobre el espacio y el tiempo, que son básicamente la formalización de nuestra intuición, una vez comprendida, eso sí, y a diferencia de los aristotélicos, qué es la velocidad de un objeto, que nos empezamos a dar cuenta de que esa intuición nuestra, y su intento de formalización, no se siente más que como una serie de parches colocados unos detrás de otros.

Y recién cuando cogemos las transformaciones de Galileo, las enviamos a freír espárragos, y tomamos unas que preserven cantidades con que no estamos familiarizados, esos nuevos invariantes, recién en ese momento, vemos con claridad que no solo lo que habíamos hecho nosotros científicamente, sino nuestra propia biología a lo largo de los milenios con nuestra propia mente, no es más que un gran delirio.

La física es la historia de la ruptura de estas intuiciones, una detrás de otra; podríamos poner el ejemplo de cómo no podemos percibir, por medio de la vista, apenas nada del espectro de ondas electromagnéticas, cuando hay animales que sí pueden percibir el infrarrojo, por ejemplo, y nosotros no.

Interesantes también son las limitaciones de tipo intelectual, como la lógica del tercero excluido, o también las discusiones de hoy sobre el espacio y el tiempo, que podríamos, como hacía Kant, incluir en el campo de la sensibilidad.

Como vivimos en un mundo con rozamiento y viscosidad, para un niño, o para Aristóteles, el movimiento no es una cuestión de perspectiva, sino de que haya algo que mueva ese objeto, porque si no, literalmente se pararía. La visión aristotélica y del niño, de hecho, funciona en muchos casos.

La aproximación aristotélica de que la fuerza es proporcional a la velocidad, y no a la aceleración (como muestran Galileo y Newton), no es del todo aberrante, al menos no hasta que llegamos a la precisión que para medir el tiempo teníamos en la época de Galileo, que no antes.

Uno de sus grandes aciertos, entre los muchos de Galileo, es darse cuenta de que esta visión en realidad es bastante absurda y se rompe por muchas partes, historia hermosa donde las haya, pero a la que hoy no vamos a referirnos porque sería excesivo. El caso es que para observar el fallo aristotélico, debe irse previamente a habitar un mundo mental sin rozamiento, donde puede verse que realmente el movimiento no depende de nada que lo mueva, no depende de ninguna fuerza, sino que es algo puramente relacional: usted puede ver que se mueve hacia mí tanto como yo puedo ver que me muevo hacia usted, y, si la velocidad con que le veo moverse es constante, no hay motivos para decir que es usted quien se mueve, o yo, a diferencia de antes, cuando, si usted se movía, era porque objetivamente había una fuerza que le impulsaba.

Esta nueva noción de la velocidad es una que ya nos parece obvia hoy en día, lo cual sería un gran mérito por nuestra parte, excepto por el hecho de que es una noción falsa, al menos tal como nos la presenta Galileo y como para nosotros resulta intuitiva.

Para Galileo, la velocidad es algo estrictamente relativo; y algo estrictamente relativo debe serlo hasta sus últimas consecuencias, queriendo decir que, si yo me muevo a la velocidad de la luz, yo debo ver a la luz parada.

De nuevo, la interesante historia de qué hicieron los físicos por preservar las ideas de Galileo a la par que hacer que las leyes de la luz, del electromagnetismo, no se vinieran abajo, el famoso éter, no va a ser objeto de este texto.

En lo único en que vamos a centrarnos es en ver que, de la misma manera que el movimiento es una cuestión de perspectiva, como bien impuso Galileo, así también lo son el tiempo, la longitud o la inercia.

Y, al igual que las transformaciones de Galileo son de una enorme elegancia frente a los trucos que ya para entonces tenían que hacer los aristotélicos para justificar su visión, y la velocidad deja de ser el ente oscuro que francamente era, cuando todo giraba en torno a cómo un objeto debía caer en forma de triángulo (cuando en realidad observábamos que era una parábola), etc.; pues de la misma manera, aunque parezca poco intuitivo, el tiempo y el espacio dejan de ser los entes oscuros que también eran en la física galileana y newtoniana, para pasar a ser simples coordenadas que se transforman atendiendo a un principio muy elemental: la rotación, esas isometrías de las que hablábamos antes.

Un tipo muy especial de rotación, cierto es, una rotación no euclídea, como vamos a ver, pero una rotación, al fin y al cabo. La velocidad se transforma con Einstein, de hecho, en la forma más pura que tenemos de representar un cambio de perspectiva: un ángulo formado en una rotación. Nadie se sorprenderá si al rotar respecto a algo, vemos cómo su ancho o alto van cambiando en magnitud aparente. Si yo tengo una patata y voy girándola, desde mi perspectiva sus longitudes en $x$ , $y$ y $z$ van cambiando, y nadie se escandaliza por ello. Pues bien, exactamente lo mismo sucede con el tiempo cuando nos movemos respecto de otro observador: porque ese movimiento es, simplemente, una rotación. Y si es una rotación en el espacio-tiempo, que afecte al tiempo no es algo tan raro, honestamente.

III. El desastre de Galileo y Newton: el fibrado trivial

La fealdad del enfoque de Galileo, en relación con el de la Relatividad Especial de Einstein, va a estribar en que, para él, el cambio de perspectiva se expresa de manera disjunta en dos espacios. Dos espacios muy relacionados, pero que no están completamente mezclados. Son lo que llamamos el tiempo, por un lado, y el espacio euclídeo, por el otro. Para Galileo, que yo, Cristian, esté escribiendo este texto en este momento y en este sitio, y que usted, estimado lector, esté leyéndolo un año más tarde en otro lugar, son dos sucesos que no tiene sentido comparar. Veamos por qué.

Para determinar físicamente dónde encuadrar un suceso no necesitamos más que su posición y su tiempo. Llamamos suceso a un punto de ese espacio de cuatro dimensiones que siempre, en un cierto sistema de referencia, va a tener coordenadas $(x,y,z,t)$ ; por ejemplo, yo escribiendo este texto, en este tiempo y en este lugar.

Como vamos a ver después, este espacio va a tener un carácter plano, que quiere decir que básicamente todos los puntos van a ser equivalentes en cierto sentido, lo cual es coherente con los axiomas que desde Newton tenemos respecto de cómo son el espacio y el tiempo, homogéneos, y en el caso del espacio, isótropo, es decir, las leyes de la física no deberían cambiar por el hecho de que miremos en una dirección o en otra.

El caso es que un espacio así, plano, donde no hay puntos privilegiados, recibe el nombre de espacio afín, pero es mejor irnos a un caso aún más simple, que es un espacio donde definimos un origen determinado, y decidimos que las transformaciones deben mantener ese origen intacto. A ese tipo de espacio lo llamamos espacio vectorial, y lo interesante de los espacios afines es que las diferencias entre puntos, la distancia física y temporal desde que yo escribo este texto hasta que usted lo lee, siempre va a ser un vector de ese espacio vectorial concreto. Formalmente, en un espacio afín el espacio tangente es para todo punto siempre el mismo y es isomorfo al espacio vectorial de direcciones. En este caso, y como tenemos que trabajar con cuatro coordenadas, el espacio vectorial en cuestión será $\mathbb{R}^{4}$ .

Entonces, por simplificar, nos imaginamos que el suceso fundamental del universo, a partir del cual vamos a entender todos los demás, es yo escribiendo este texto. Decimos que eso ocurre en $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ y $t=0$ . Cualquier otro suceso, como usted leyendo este texto, ha pasado de ser un punto a ser un vector de cuatro dimensiones, con las ventajas que eso nos va a traer, que son muchas más de lo que parece. De hecho, la Relatividad de Einstein nos va a hacer entender por qué la noción de vector es algo tan potente…

Pues bien, establecido este marco, que llamaremos Espacio-Tiempo, hasta ahora crudo, sin leyes de la cinemática ni de la dinámica, sin postulados, vamos a inocular el virus de la mecánica galileana y newtoniana en todo esto.

Newton sin duda asume las transformaciones de Galileo, que en un espacio vectorial son básicamente que, si tengo dos observadores que se desplazan el uno respecto del otro a lo largo de un eje, la coordenada espacial que mide «el que se mueve», vamos a llamarle, es la misma que la del otro, pero restándole el trecho que se ha desplazado en un tiempo dado. Los tiempos que miden, en cambio, son los mismos:

x'=x-vt,\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=t.

Como dije antes, es la formalización matemática, trivial, la que nos enseñan con trece años, de nuestra intuición física. Tres componentes de la velocidad, por tanto, tres grados de libertad; podríamos añadir también las rotaciones finitas de los ejes, eso también me preserva las leyes físicas por isotropía, o sea, tres grados más.

El caso es que Newton tiene que aceptar estas transformaciones que son obvias, y también acepta el principio de Galileo que se asocia a estas, que es básicamente que, si dos observadores se desplazan el uno respecto al otro a velocidad constante, las leyes, al menos de la mecánica, son las mismas para ambos.

Newton lo acepta porque todo su aparato matemático se basa en que las leyes del movimiento son ecuaciones referidas a la aceleración, y no a la velocidad, y en esas ecuaciones de movimiento, que son ecuaciones diferenciales de segundo orden, toda velocidad constante se disuelve al derivar dos veces.

Sin embargo, a Newton no le parece que esto implique en lo más mínimo que no haya un sistema en reposo absoluto; simplemente le parece que las transformaciones de Galileo sirven para medir casos relativos, pero que eso no implica que no pueda haber un sistema que, objetivamente, esté fijo a la cuadrícula de espacio del universo. Él apela a la naturaleza divina, y, honestamente, a su intuición de que algo así debería ser posible.

En nuestro espacio de sucesos, ¿cómo representaríamos el lugar geométrico de los puntos que están en reposo? Pues básicamente, son los puntos que solamente avanzan en el tiempo, porque no avanzan en el espacio, pero en el tiempo sí están obligados a avanzar, por motivos ajenos a la mecánica, eso sí, al menos a lo que no es mecánica estadística. Así pues, todos los sucesos que están en reposo debe conectarlos una línea con vector director $(0,0,0,1)$ , el simple eje del tiempo en este espacio de cuatro dimensiones que a partir de ahora llamaré espacio de los sucesos.

Ahora bien, si Newton asume que el principio de Galileo funciona, y que en principio funciona con las transformaciones que él definió, hete aquí que nos encontramos con un problema cuando sometemos a la transformación de Galileo la ley física de que el espacio absoluto debe ser absoluto, es decir, no depender de ningún observador inercial. Si transformamos el vector director que define a la recta del reposo absoluto con las matemáticas de Galileo, nos sale que no, que ese lugar depende, naturalmente, de la velocidad del observador.

Es decir, que el postulado de Newton de que existe un espacio en reposo absoluto, algo así como una línea del tiempo pura, y el postulado de Galileo de que las leyes mecánicas no deben depender de un observador inercial, no son compatibles. Newton se refugia en ese argumento de que Galileo es solo una visión relativa y que no dice nada de lo absoluto, pero si aceptamos que las transformaciones de Galileo se pueden aplicar a cualesquiera sucesos, amigo Newton, usted está equivocado.

Pero Newton no es tonto, y se intenta escudar diciendo que bueno, que quizás las transformaciones puras del espacio de sucesos en realidad no involucren a la velocidad, que las transformaciones de Galileo son demasiado generales. Las transformaciones de Galileo, en nuestro espacio afín completo, tienen siete parámetros más que la velocidad en los tres ejes; podemos hacer una rotación finita de los ejes como ya dijimos, esto es, tres parámetros; podemos añadir una traslación temporal, un parámetro, y podemos añadir una traslación, un cambio de orígenes espacial, tres parámetros. Newton simplemente diría que, en lugar de un conjunto de matrices de diez parámetros, que representan el Grupo de Galileo, tendríamos un conjunto de matrices de siete parámetros, que no sin motivo recibe el nombre de Grupo Aristotélico. Newton pensaba que las leyes de la dinámica, por ser de segundo orden, perdían algo de precisión, borraban el hecho de que se añadieran las velocidades, y que por tanto se podían usar los diez parámetros de Galileo, pero que en realidad la estructura de la realidad venía dada por el Grupo Aristotélico. Entonces, aunque de facto las transformaciones que usa incluyen la velocidad, en el fondo de su alma Newton piensa que la estructura última del espacio-tiempo solo es congruente con transformaciones puramente espaciales.

Sea como sea, evidentemente los físicos intentaron dar algún sentido formal a esta incongruencia, que huele un poco a chamusquina. La idea principal al problema es asumir un «pequeño» parche para que el espacio-tiempo no sea cualquier cosa. Es lo que hoy día llamamos, de manera pedante, la descomposición del espacio-tiempo en un fibrado trivial; en el fondo, como hemos visto, un evento que incluya una componente temporal, como el tetravector velocidad, ese vector $(0,0,0,1)$ , da lugar a cosas que no funcionan.

Así que vamos a limitarnos a ver las transformaciones de Galileo como válidas para explicar el espacio-tiempo, pero restringiéndonos a planos de simultaneidad. Básicamente, atendemos a ese principio que nos parece tan natural de que al espacio podemos asociarle en todo momento un parámetro temporal, sea aquí o en Andrómeda. Desde esa perspectiva, entre el espacio-tiempo, $\mathbb{R}^{4}$ , y la recta del tiempo, habría una correspondencia completa. El tiempo puede verse como un parámetro que rebana el espacio-tiempo en planos de simultaneidad. El presente que nosotros vivimos sería siempre ese plano de simultaneidad.

Pues bien, aunque las transformaciones de Galileo se pueden aplicar en intervalos de tiempo que no sean cero, pues si no coincidirían con el Grupo Aristotélico, debemos imponer una restricción a la transformación de sucesos. Es decir, si yo me muevo respecto de usted, a velocidad constante, y quiero ver en qué lugar y tiempo ocurre, desde mi punto de vista, el suceso «usted estar leyendo mi texto», imponemos que solo tiene sentido hacer esa pregunta cuando ambos observamos el mismo tiempo, cuando estamos en el mismo plano de simultaneidad.

Si no fuera así, por ejemplo, la distancia física que mediríamos entre el lugar en el que yo escribo el texto y el lugar en el que usted lo lee dependería de la velocidad. Si yo diera la casualidad de que llego al sitio donde usted está cuando está leyendo el texto, para mí la distancia entre ambos sucesos sería cero, mientras que para alguien que estuviera en el Sol, la distancia entre los dos sucesos sería de millones de kilómetros.

Por eso, ya digo, imponemos que solo podemos medir diferencias de sucesos si son simultáneos. Es una pena, pero chico, si queremos preservar las transformaciones de Galileo y estas solo resultan funcionar si troceamos de esa manera el espacio-tiempo, y asumimos que las transformaciones de Galileo son ciertas, entonces es que el espacio-tiempo debe tener esa estructura, como ya hablamos antes con el problema de Erlangen: son las transformaciones y sus invariantes las que definen a las geometrías.

El espacio-tiempo no es un conjunto donde podamos comparar pares de sucesos no simultáneos, esa pregunta no tiene sentido, y por eso las transformaciones de Galileo no funcionan en ese caso; no es porque Galileo esté mal, sino porque el espacio-tiempo no es $\mathbb{R}^{4}$ , sino un fibrado de $\mathbb{R}^{3}$ sobre $\mathbb{R}$ , es decir, que a cada tiempo se le puede asociar el espacio. Es una forma sofisticada de hacer lo que ya había hecho Newton: meter a martillazos, curiosamente, a Aristóteles, en la relatividad de Galileo.

Y si bien estos malabarismos a la hora de transformar la geometría del espacio-tiempo para que las transformaciones de Galileo sean válidas pueden ser chocantes, es cierto que hasta aquí no debería haber ningún problema; básicamente estamos diciendo que el mundo se rige más o menos como pensábamos que se regía, y que esas cuestiones de sucesos no simultáneos no están muy bien definidas en la geometría del universo.

IV. Abrazando… ¿lo absoluto?

Ahora bien, veámoslo desde una perspectiva diferente, precisamente la perspectiva de intentar encajar a Galileo en una isometría, que es una forma muy concreta de invarianza, y, por tanto, con propiedades muy interesantes. Resulta que si hacemos ese troceo en rebanadas simultáneas del espacio-tiempo, en cada una de esas rebanadas, como las transformaciones de Galileo son literalmente traslaciones y rotaciones, el grupo de Aristóteles, vemos que coinciden con nuestra idea de isometría euclídea, es decir, Galileo restringido a un plano de simultaneidad es literalmente lo más maravilloso que puede haber: una isometría euclídea.

Además, sabemos que, para Galileo, la variación de tiempo que media entre dos sucesos es la misma para cualesquiera observadores, o sea, también es una isometría para el eje del tiempo puro. (Recuerden que una isometría aplicada a un número es básicamente que su longitud se quede igual, es decir, multiplicarlo por uno, por la identidad, y eso lo cumple Galileo.)

Por tanto, Galileo es tanto una isometría en el espacio como una isometría en el tiempo, pero no una isometría en el espacio-tiempo, porque el tetravector velocidad que vimos antes, un verdadero vector del espacio de sucesos, no preservaba su longitud. Esto es una verdadera pena, porque es lo que nos impide, como quería Newton, encontrar un lugar que posea reposo absoluto. Pero bueno, ya está, quizás no exista tal absoluto, y encontrarlo sea como encajar el movimiento de los astros en el modelo ptolemaico.

Pero hete aquí que, en el siglo XIX aparece algo que nos rompe un poco los esquemas. La teoría del electromagnetismo, las ecuaciones de Maxwell, ofrecen un resultado inequívoco para la velocidad de la luz: la constante $c$ . ¿Qué quiere decir que la velocidad de la luz pueda definirse así, como un valor concreto? Esto es absurdo; esa velocidad debería ser relativa al observador.

La historia es muy larga, pero los físicos básicamente asumieron que ese resultado, esa velocidad $c$ , era para un sistema muy concreto; un sistema al que dieron en llamar, tras de una enorme tradición histórica usando ese nombre, el sistema del éter. Las leyes del electromagnetismo son solo válidas en ese sistema del éter; fuera de él, debemos corregir matemáticamente por esos vientos del éter, y, por supuesto, medir una velocidad diferente de $c$ . El principio de Galileo no sería cierto, es decir, las leyes del electromagnetismo no serían válidas en todos los sistemas inerciales, pero sus transformaciones sí deberían serlo.

Como dijimos, esta imposibilidad matemática de mantener simultáneamente 1) las transformaciones de Galileo, 2) el principio de Relatividad de Galileo, y 3) la existencia de un sistema espacial absoluto, ya había aparecido en la mecánica, pero no era grave porque nada inclinaba a pensar que el tercero de los puntos fuera correcto. Uno podía desecharlo. Sin embargo, como acabamos de decir, en el electromagnetismo no sucede lo mismo, es decir, la imposibilidad matemática se reabre. En este caso, para el electromagnetismo se adopta la existencia del sistema espacial absoluto, y las transformaciones de Galileo para la velocidad, pero no la validez de las mismas leyes en todos los sistemas inerciales.

Pero… si aceptamos las transformaciones de Galileo… si de alguna forma conseguimos medir nuestra velocidad respecto del sistema del éter, que es absoluto, deberíamos observar una velocidad de la luz diferente de $c$ . El grado de precisión e ingenio necesarios para la medición de esta divergencia no llegaría hasta finales del siglo XIX, y se encarnaría en los famosos experimentos de Michelson-Morley. Sin pararnos en ellos, lo único que sin duda atestiguan es que, independientemente de cómo nos desplacemos respecto del supuesto sistema del éter, siempre observamos que la luz se mueve a la velocidad $c$ . La velocidad $c$ parece ser absoluta para cualquier marco de referencia inercial.

Naturalmente, aquí incurrimos en el error fatal, que algunos encuadran dentro de la así llamada historia whig de la ciencia, de creer que la experimentación puede ser capaz de falsar una hipótesis inequívocamente.

En este caso, el cambio de paradigma parece producirse más por motivos de pura estética que por otra cosa, porque podemos justificar esa observación, la aparente constancia de la velocidad de la luz, apelando a explicaciones realmente variadas.

El primero en proponer unas transformaciones matemáticas que hacen encajar la realidad de esa aparente constancia de la luz, sin revolucionar ontológicamente la noción que del espacio, del tiempo y del electromagnetismo se tenía en el siglo XIX, fue Lorentz. Lorentz llega a las mismas transformaciones matemáticas de la Relatividad Especial; desde un punto de vista operativo son indistinguibles. Sin embargo, como digo, ontológicamente, y también mecánicamente, se abre un enorme cisma entre la interpretación de Lorentz, y la de Einstein y Minkowski. El criterio, se puede decir, a la hora de tomar un camino y no el otro, es prácticamente estético.

El caso es que con Lorentz tenemos que hacer un encaje de bolillos realmente interesante: por un lado, se aferra al punto 3, la existencia de un sistema absoluto, el sistema del éter. Simultáneamente, como hacían los físicos del XIX, rechaza el principio de relatividad de Galileo, pero, debido al experimento de Michelson-Morley, como la luz parece moverse igual siempre para todos, tiene que introducir unas nuevas transformaciones que se cargan las transformaciones de Galileo. Es decir, que básicamente hace una inversión absoluta de la mecánica, que se sustentaba en los puntos uno y dos, pero, no sin razón como se dice de la política, «si queremos que todo siga como está, es necesario que todo cambie». Como si acaso lo único que se hubiese modificado fueran esas transformaciones de Galileo, aceptamos que estas nuevas transformaciones de Lorentz tampoco tienen mucho significado, y ya está. Hemos puesto patas arriba las matemáticas solo para que todo siga igual.

Pero no. Nada más lejos de la realidad. La revolución estaba destinada a llegar. Lo que ontológicamente sugerían las matemáticas de Lorentz era algo radicalmente diferente.

V. El juego de métricas y la verdadera isometría

Las transformaciones de Lorentz imponen que, para cualquier observador inercial, la velocidad de la luz es siempre la misma. Ahora bien, ¿se acuerdan del espacio de sucesos del que hablamos antes, el que debido a la forma de las transformaciones de Galileo tuvimos que trocear en planos de simultaneidad? Esas transformaciones de Galileo inducían una estructura intuitiva sensorialmente, pero extraña matemáticamente, ese fibrado trivial. Como en los planos de simultaneidad Galileo es una isometría, y como en la línea del tiempo estricta Galileo es una isometría, tenía sentido ver el espacio-tiempo troceado de esa manera.

Sin embargo, piensen en las transformaciones de Lorentz. Incluso sin saber nada de ellas, sabemos que para cualesquiera observadores debe verificarse que la distancia al cuadrado recorrida por un rayo de luz debe ser $c$ al cuadrado por el tiempo que ha tardado al cuadrado:

\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}=c^{2}\,\Delta t^{2}.

Vamos a pasar el término que incluye $c$ a la izquierda:

\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\,\Delta t^{2}=0.

Resulta que para todos los observadores inerciales esa cantidad, desplazamiento al cuadrado menos $c$ al cuadrado por $t$ al cuadrado, es igual a cero, cuando el desplazamiento y el tiempo sean los de un rayo de luz. Pero claro, un rayo de luz que sale de este espacio y este tiempo en el que estoy escribiendo este texto, y que llega al espacio que sea y el tiempo que sea, es un suceso; es un tetravector en nuestro espacio-tiempo. Y, sin embargo, sabemos que, al ver ese mismo suceso desde la perspectiva de otro sistema inercial, ese tetravector verifica la misma relación entre sus componentes. Esto, damas y caballeros, huele a isometría, pero no ya como en el caso de Galileo en dos espacios diferentes, sino en el conjunto del espacio-tiempo.

Según el propio Lorentz, existe sin duda un lugar geométrico absoluto, el sistema del éter, y ese sistema del éter debe ser invariante bajo sus propias transformaciones. Esa es precisamente la definición de lo absoluto. Pero nosotros acabamos de encontrar que todo tetravector que vaya hasta un suceso que se sitúa en un punto que haya alcanzado un rayo de luz cumple una cierta relación para todos los observadores, o sea, hemos encontrado un invariante para las transformaciones de Lorentz.

Todos esos sucesos del espacio-tiempo que son alcanzables por un fotón de luz desde el suceso del origen, absolutamente todos esos sucesos, tienen en común esa relación, tienen en común que esa suma de coordenadas da exactamente cero. Si decimos que ese número es la longitud, la longitud asociada al tetravector en cuestión, lo que tendremos es, literalmente, el conjunto de puntos con extensión nula, y eso es, justamente, lo que es completamente invariante ante una isometría con un origen determinado: todos los puntos con norma cero. Hemos encontrado el lugar geométrico que no depende del observador inercial, el famoso cono de luz.

Pero bueno, pero vamos a ver, ¿qué narices estamos haciendo aquí? ¿Cómo que a los sucesos que se conectan con el origen por medio de un rayo de luz, no nada más lento, no nada más rápido, por supuesto, sino exactamente un rayo de luz, les vamos a asignar una longitud cero? Es cierto que nos hemos tenido que poner un tanto originales, pero, aunque no nos diéramos cuenta, ya nos habíamos puesto originales antes con el mundo de Galileo y Newton.

De hecho, estábamos siendo mucho menos elegantes. Por expresarlo pedantemente, hemos pasado de dos métricas degeneradas a una métrica no degenerada, lo cual es fantástico, pero a cambio hemos tenido que renunciar a que esa métrica sea semidefinida positiva: nuestra métrica va a ser pseudo-riemanniana.

Si esto les ha sonado a chino, no hay ningún problema, voy a intentar hacerlo lo mejor posible para que quede muy claro este paso crucial que aquí vamos a dar.

Para nosotros, intuitivamente, si tuviéramos que decir cuál es la longitud de un vector que representa un suceso, lo natural sería decir que es o la distancia a la que ocurre de nosotros, o el tiempo en el que ocurre de nosotros. ¿Cuál es el lugar geométrico de los sucesos que ocurren a distancia cero de nosotros? La línea del tiempo. Ese lugar que ya demostramos que no podía ser absoluto. ¿Y cuál es el lugar geométrico de los sucesos que ocurren a tiempo cero de nosotros? El plano de simultaneidad: todo el espacio.

Todos los sucesos que están en la línea del tiempo tienen medida euclídea 3D cero, porque ocurren en el origen de la distancia, pero en cambio, los sucesos que están en el plano de simultaneidad tienen medida euclídea 1D, la del tiempo, cero. En cierto sentido, ambos lugares geométricos son nulos respecto de la métrica que tiene sentido para el otro. El hecho de que las transformaciones de Galileo definan dos tipos de isometrías diferentes, lo que induce a crear es dos formas diferentes de medir la longitud de un suceso. Esto no es raro intuitivamente, decir que un suceso tiene sentido medirlo de nosotros o bien por la distancia a que ocurre o bien por la diferencia de tiempo a la que ocurre, pero cuando lo formalizamos matemáticamente, sí que da lugar a algo extraño.

Si tenemos un vector y queremos calcular su longitud, antes tenemos que definir una vara de medir. Una vara de medir que nos diga: «oye, mira, a esta componente la multiplico por esta cantidad, y a aquella, por tanto». A esa vara de medir le llamamos tensor métrico, cuya información en nuestro caso siempre vamos a poder condensar en una matriz. En el caso euclídeo, el de Pitágoras, el de toda la vida, el que hace que no se nos caigan los puentes, asociamos un uno a cada una de las componentes. Todas pesan igual. La longitud, la norma, siempre me va a quedar positiva, o cero en el caso de ser el vector nulo:

Viéndolo así, está claro que la métrica que usamos para definir los sucesos que tienen lugar de forma simultánea no es la euclídea, sino una que desprecia el lugar en el que uno se encuentra, solo tiene en cuenta su tiempo, una matriz $\operatorname{diag}(0,0,0,1)$ ; a nuestro tetravector le estamos truncando tres de sus componentes a la hora de computar su norma. Análogamente, para definir el lugar de los puntos supuestamente en reposo, truncamos a nuestra matriz por el tiempo. El tensor métrico es entonces $\operatorname{diag}(1,1,1,0)$ :

Así pues, las dos métricas con las que viene en realidad equipado nuestro fibrado clásico son dos métricas degeneradas, degeneradas porque son matrices que no son invertibles, que no tienen propiedades demasiado buenas. En realidad, por supuesto, en matemáticas usamos el término degeneración para referirnos a que nos hemos salido del caso «genérico», por así decirlo, y lo cierto es que casi todas las matrices son invertibles, aunque eso es otro tema.

O sea, que los dos lugares «privilegiados» de nuestro espacio-tiempo newtoniano, en realidad su esqueleto, son los lugares con pseudonorma nula para alguna de estas métricas degeneradas. (Digo pseudonorma, por cierto, y no norma, porque son matrices degeneradas.)

En cambio, en nuestro espacio-tiempo en que la velocidad de la luz es una constante para todos los observadores, el espacio-tiempo donde las transformaciones de Lorentz van a ser isometrías, el espacio-tiempo que a partir de ahora vamos a llamar espacio de Minkowski, $M^{4}$ , ¿cuál es el lugar de norma nula? ¿También será en cierto sentido el «esqueleto» de ese espacio?

Como habrán podido notar, literalmente los espacios de pseudonorma nula en el caso de Newton son el esqueleto a partir del cual se construye ese espacio fibrado, y dentro de las regiones que define ese esqueleto, que no en su conjunto, las transformaciones de Galileo son isometrías. ¿Acaso no ocurrirá algo similar con Lorentz?

Pues sí. Con Lorentz ocurre exactamente lo mismo. Como hemos dicho, un poco por definición, porque nos hemos dado cuenta de que ahí sucede algo especial, el cono de luz vamos a querer que también sea un lugar de sucesos con longitud nula para cierta métrica.

Esa métrica es la métrica de Minkowski, que, para nuestro gusto, no va a ser una métrica degenerada, y por tanto no va a trocear el espacio de una manera tan aberrante como Galileo y Newton. Eso sí, va a ser una métrica que puede dar lugar a «normas» (entre comillas, porque ya no reciben este nombre) negativas para ciertos sucesos, porque nuestra matriz no va a ser definida positiva: va a ser una matriz indefinida, con valores positivos, $1,1,1$ , y otro negativo, $-c^{2}$ :

Cuando esto sucede, a la métrica se le llama pseudo-riemanniana, pero bueno, eso no es importante.

La primera vez que vi esto, me pareció un truco, un poco de mal gusto incluso. A Einstein le pareció lo mismo cuando vio que a Minkowski se le ocurrió esta idea. Einstein en ningún momento construyó su teoría de la relatividad especial de esta manera, y le parecía una fantasmada matemática hacerlo, pero con los años, cuando inició su cruzada de la Relatividad General, se dio cuenta de que era el único aparato matemático viable que permitía pensarlo de forma limpia y elegante.

Tengo que decir que es algo que aún no les he podido demostrar, porque hasta ahora todo con lo que hemos tenido que lidiar es con la antigua métrica degenerada de Newton, que era mucho peor. Pero solo tras pasar por ese trance, después de haber visualizado el nudo gordiano o atolladero en que se encontraban los físicos, se puede de veras contemplar lo fácil y tranquilo que se hace todo a partir de ahora. ¿Dilatación del tiempo? ¿Contracción del espacio? Eso es una consecuencia absolutamente trivial contenida en todo lo que ya hemos propuesto.

VI. El postulado de la luz y la transmisión de la información

Uno de los dos postulados de Einstein, que es lo único que necesita para montar toda la cinemática de la Relatividad Especial, es que la velocidad de la luz es constante para todos los sistemas de referencia inerciales porque ontológicamente tiene sentido que así sea. Como dijimos, esto es una forma de interpretarlo. Para Lorentz, que viéramos siempre la luz a la misma velocidad era una cuestión derivada de cómo el espacio-tiempo parecía conspirar para que eso acabara sucediendo, casi como una especie de genio maligno cartesiano que altera las longitudes naturales de los objetos y el tiempo. Pero Einstein dice: «chico, quítate de tonterías, porque tus transformaciones literalmente son compatibles con Maxwell, lo cual quiere decir que ya no necesitas el sistema del éter para nada, las leyes físicas vuelven a ser válidas para todos los sistemas inerciales, ¡viva Galileo!»; lo que estaban mal eran las transformaciones de Galileo, no su principio; y como ya te has quitado de un plumazo el problema del electromagnetismo, no hace falta que sigas empeñado en defender que funciona de manera diferente a la mecánica.

O sea, el paradigma del electromagnetismo, basado en que 1) el principio de Galileo no nos vale, 2) sus transformaciones sí nos valen, 3) hay un lugar absoluto, queda invertido a 1) el principio de Galileo ES lo correcto, 2) las transformaciones de Galileo son incorrectas, 3) no hay ningún lugar del espacio absoluto, pero, a cambio, hemos encontrado un nuevo lugar geométrico absoluto, que es el cono de luz.

Y es curioso, porque siempre habíamos estado intentando buscar el lugar de reposo absoluto, cuando, en cierto sentido, era el otro lugar geométrico destacado en el fibrado clásico el que nos estaba dando la pista: el plano de simultaneidad.

Si dos sucesos tienen lugar de manera simultánea, y están conectados causalmente, como a Newton disgustaba aceptar, pero acabó aceptando para su célebre «fuerza a distancia» de la gravedad, estamos admitiendo la posibilidad de que la información se transmita de forma instantánea, es decir, a velocidad infinita.

No estamos prohibiendo la velocidad infinita. En cambio, Einstein nos dice: «de eso nada. Nada va más rápido que la luz. En el límite, mi información, la causalidad, se podrá transmitir a la velocidad de la luz, pero no más rápido». El conjunto de sucesos que precisamente determina esa barrera es el cono de luz. Y lo hermoso viene cuando nos damos cuenta de que, geométricamente, si en el cono de luz hacemos que $c$ tienda a infinito, en lugar de ser un número finito como en realidad es, nuestro cono se va aplastando y aplastando contra el plano de simultaneidad… hasta que, en el límite, coincide con él. ¡Al igual que las transformaciones de Lorentz tienden a las de Galileo cuando hacemos que $c$ sea infinito!

O sea, que, en el fondo, el lugar privilegiado en el espacio de Minkowski es exactamente el mismo que uno de los lugares privilegiados en el fibrado clásico, solo que en el fibrado clásico habíamos cometido el grave error de asumir que la velocidad de transmisión de la causalidad podría ser infinita. Y esto, estimados lectores, es exactamente el motivo por el cual no tiene nada de disparate definir nuestra métrica de Minkowski de una manera tan curiosa: porque en el fondo estamos haciendo lo mismo que antes, definir nuestro esqueleto del universo en base al lugar geométrico que determina la frontera de la causalidad, que, naturalmente, tiene que ser invariante para cualquier observador inercial, porque el hecho de que yo me mueva respecto de usted a una velocidad constante de ninguna manera debería afectar a cómo observo la transmisión de la información.

Y, como nos dice un hermoso resultado de los años 60, la causalidad delimitada por un ritmo de transmisión de la información finito determina que el espacio-tiempo debe poseer como isometrías el grupo de transformaciones de Lorentz, lo cual justifica nuestra idea de que simplemente con el esqueleto de lo absoluto, todo lo demás se acoge a las reglas relativas de la isometría que hace invariante a ese esqueleto, y esa isometría fue de la que, por medios mucho más rudimentarios, Lorentz y Einstein habían demostrado su forma concreta años antes, y a la que Minkowski da el peso y la belleza de una teoría que, recién en este punto, comienza a dar alas a esa noción tan sumamente estructural que el físico moderno posee de la realidad, donde se da el paso del estudio de objetos concretos, electrones como bolitas, a transformaciones abstractas que definen geometrías. Sin esta forma de pensar, nada de la física de partículas actual podría sernos accesible.

Pero no nos atolondremos, porque ver la Idea platónica sustanciada en una estructura, una relación perfecta, no equivale a que automáticamente podamos explicar con ella las sombras de nuestro mundo: hay que bajar la abstracción para ver en qué se sustancia esto.

Ya les digo que no daría tiempo ni en cien horas de narrar, ni siquiera en este nivel superficial, todas las consecuencias, pero voy a intentar ofrecerles la caña de pescar, en lugar del pescado, para que, en otros textos o libros divulgativos, puedan entender mejor cómo han pescado eso que les están regalando.

VII. Espacio de Minkowski y relatividad… ¿«especial»?

Llegados a este punto, sin introducir más conceptos nuevos, sino solamente aclarar lo que ya tenemos, vamos a formalizar cuál es el marco fundamental de la Relatividad Especial. Definimos el espacio de Minkowski, o espacio-tiempo, como el espacio afín de dimensión cuatro en que los puntos reciben el nombre de sucesos, junto a una métrica, llamada métrica de Minkowski, con matriz $\operatorname{diag}(1,1,1,-c^{2})$ , que no es euclídea, pues no es definida positiva.

Esta métrica de Minkowski no da lugar a una norma propiamente dicha, porque hay veces que es negativa, pero, aun así, el equivalente a la «longitud» de una variación entre dos sucesos va a venir dado por esa métrica, ponderando cada componente del vector por los elementos de la métrica. A esta «longitud» le vamos a llamar intervalo espacio-temporal:

\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}+\mathrm{d}z^{2}-c^{2}\,\mathrm{d}t^{2}.

Como en nuestro espacio la métrica es constante, se dice que es un espacio plano, y podemos, en vez de tomar puntos, imaginarnos, como hicimos con aquel ejemplo de suponer que el suceso original del universo es «yo escribiendo este texto aquí y ahora», que los puntos son vectores, que son sucesos.

Porque hay que decir que el tensor métrico siempre se aplica sobre lo que se llama variedad tangente; si yo estoy en la Tierra, que es una variedad curva, y quiero calcular la distancia del Polo Norte a París sobre esa superficie, mis vectores siempre van a habitar un plano tangente a la esfera que es diferente, es un caso más difícil en el que mi vara de medir depende de dónde estoy, el tensor métrico no es constante. Sin embargo, nada de esto ocurre en el espacio de Minkowski, que es plano, y entonces el espacio tangente siempre es isomorfo a $\mathbb{R}^{4}$ , así que vamos a trabajar con $\mathbb{R}^{4}$ . Por eso podemos trabajar con tetravectores en lugar de con puntos.

(Por cierto que el escenario de la Relatividad General es, precisamente, un escenario en el cual el espacio-tiempo se puede curvar debido a la existencia de la masa, y ahí, nuestra vara de medir, nuestro tensor métrico, ya no puede ser constante. Pueden imaginarse la dificultad que eso encarnará.)

En todo caso, dado este escenario, $\mathbb{R}^{4}$ con la métrica de Minkowski, automáticamente se tiene que todos los sucesos que se encuentran respecto del origen a un intervalo espacio-temporal igual a cero definen un lugar invariante por la transformación isométrica propia de este espacio, a la que llamamos transformación de Lorentz. Este lugar invariante es un cono de luz.

De cara a la construcción de todo este espacio, del que se va a desprender toda la cinemática relativista, solamente hemos requerido una condición, que es tan potente por lo que antes hablamos de la información: la constancia de la velocidad de la luz. Solamente con ese postulado tenemos automáticamente construida toda esta parafernalia. El otro pilar de la Relatividad Especial, la invarianza de las leyes físicas, incluidas las del electromagnetismo, para todo sistema inercial, es básicamente la herramienta fundamental para construir la dinámica de la Relatividad Especial. A la dinámica le dedicaremos un texto independiente.

Como les comenté antes, lo que diferencia a la Relatividad Especial de la Relatividad General es que la existencia de masa en el universo altera nuestro tensor métrico, que deja de ser constante, y, fundamentalmente, altera el tensor de curvatura, del que aquí no vamos a hablar. Pero el caso es que, aunque no lo parezca a simple vista, la Relatividad Especial es realmente un marco muy general. Creo no haber sido el único, al iniciarme en esta teoría, en confundir el término «especial» con algo así como que solamente estamos estudiando sistemas que se mueven a velocidad constante. Nada más lejos de la realidad.

La Relatividad Especial es el estudio de un espacio con una métrica constante. En ese espacio, todas las transformaciones que hacen que esa métrica permanezca constante, que es lo mismo que decir que se preserven los intervalos espacio-temporales, los ángulos, etc., es decir, las isometrías, son las transformaciones de Lorentz, y esas transformaciones de Lorentz equivalen exactamente a ver sucesos desde la perspectiva de sistemas que se mueven los unos respecto de los otros a velocidades constantes. Pero eso no implica que si estamos estudiando una partícula, esa partícula no pueda recibir fuerzas, acelerar, e incluso que podamos montarnos en un sistema solidario a la partícula, un sistema no inercial, un sistema que no estuviera incluido en las transformaciones de Lorentz. Si hiciéramos algo así, es cierto que nuestro tensor métrico, por definición de que nuestra transformación no es una isometría, dejaría de ser constante; pero eso no haría que el espacio dejara de ser plano. Sería como si dijéramos que la mecánica clásica no contempla subirnos a un sistema acelerado porque surgen fuerzas de inercia; sí, surgen esas fuerzas, como aquí también se nos deforma nuestro tensor métrico, pero no hemos dado el salto radical que sí da la Relatividad General, que es añadir una curvatura a ese espacio-tiempo, que es algo ajeno a si nos montamos en un sistema de referencia inercial o no inercial. El famoso principio de equivalencia de Einstein es precisamente la idea de que un sistema acelerado, que deforma el tensor métrico, es análogo a la existencia de un campo gravitatorio, pero solo localmente, pues un sistema solo acelerado no modifica la curvatura, lo cual sí hace la masa gravitatoria. Debido a esa curvatura se pueden explicar fenómenos como la trayectoria, valga la redundancia, curva, de los rayos de luz cuando transitan por un lugar con mucha masa.

Ya digo que nada de eso lo contempla la Relatividad Especial, pero en general no nos va a ser necesario mientras estudiemos partículas, por muy aceleradas que estén, o incluso por mucho que nos montemos en un sistema acelerado para verlas, cuyo espacio-tiempo circundante no se vea completamente modificado por una gran masa.

Me parecía conveniente comentar esto, porque realmente, como ven, eso de llamar Relatividad Especial a una teoría que justamente se centra en estudiar a fondo las invarianzas en el espacio-tiempo, a saber, no se centra en el síntoma relativista sino en la causa invariante, y que no es tan restringida como normalmente se da a entender, a saber, no es tan «especial», no es tan «particular», cuando menos suscita cierta confusión, que no por casualidad ha sido muy explotada por filósofos de todas las clases, con tal de justificar ideas que, siendo honestos, tampoco necesitaban apoyarse en que la física estuviera haciendo una cosa, supuestamente, paralela. Siempre quedaba bien, aunque fuese falso.

VIII. Las regiones del espacio-tiempo

Hemos hablado mucho de las transformaciones de Lorentz, pero todavía no hemos visto en qué se reflejan geométricamente.

Efectivamente, si una isometría que mantiene el origen intacto siempre es por definición una rotación, y si las transformaciones de Lorentz que mantienen el origen son básicamente, al igual que las transformaciones de Galileo, dependientes de seis parámetros, tres para una rotación finita de los ejes, cosa que no nos importa ahora mismo, y tres para las velocidades en las tres direcciones, el caso es que el parámetro velocidad va a hacer las veces, literalmente, del parámetro ángulo. Moverme inercialmente respecto de usted significa que simplemente estoy realizando una rotación respecto de usted en el espacio-tiempo.

Sin embargo, debido a cómo en nuestro espacio de Minkowski se define lo que es una «distancia», un intervalo espacio-temporal, lo que para nosotros normalmente representa una rotación, que en el caso 2D viene encarnado en la forma de un círculo, no aplica, precisamente. Pensemos en nuestro caso euclídeo de toda la vida. Vayámonos a $\mathbb{R}^{2}$ . (En $\mathbb{R}^{3}$ sería igual pero con una esfera, y en $\mathbb{R}^{4}$ no podemos imaginarlo, pero el razonamiento es extrapolable.)

Tenemos nuestros dos ejes, y tenemos un vector unitario. Eso quiere decir que, usando el tensor métrico euclídeo, mis vectores tienen norma 1. Aplicar una isometría es básicamente rotar un cierto ángulo, que es mi parámetro, estos vectores. Si los roto de manera continua, dibujo un círculo, que es el lugar geométrico a distancia uno del origen.

¿Qué sucede si hago lo mismo con la métrica de Minkowski? Tenemos $M^{2}$ . Dibujamos dos vectores unitarios, igual que antes. Un eje es el tiempo y otro es el espacio. Dibujamos también el cono de luz, que son dos rectas cruzadas en el origen, $x=\pm\,ct$ . Todos estos puntos tienen $\mathrm{d}s^{2}=0$ . Son el esqueleto de nuestro espacio. (Esto no existía en el caso euclídeo, donde el único punto con norma cero era el propio origen.)

El vector espacial se encuentra fuera del cono de luz, y el temporal, dentro. Si calculamos $\mathrm{d}s^{2}$ del vector espacial, me sale que es positivo. Si hago lo propio con el temporal, me sale negativo. Como $\mathrm{d}s^{2}$ es continuo y vale cero solamente en el cono de luz, obligatoriamente $\mathrm{d}s^{2}$ es mayor que cero siempre que uno está fuera del cono de luz, y es menor que cero dentro del cono de luz.

Si uno está fuera del cono de luz, por ejemplo, en el vector unitario $e_{x}$ , está viendo un suceso que ocurre en $x=1$ y en $t=0$ , es decir, simultáneamente al suceso del origen, pero a una cierta distancia. Como la información solo se puede transmitir a una velocidad finita, cuyo límite se encuentra en el cono de luz, ese evento simultáneo, y en general todos los que están fuera del cono de luz, no pueden estar relacionados causalmente con mi suceso de origen. Si mientras yo escribo este texto usted está justamente comiéndose un sándwich, esos dos eventos no pueden guardar una relación causal. De hecho, como vamos a ver, existen observadores para los que a usted le ven comiéndose el sándwich antes, y a mí escribiendo el texto después, y observadores que lo ven al revés. Simplemente debido a la rotación de Lorentz.

Naturalmente, esto no puede suceder dentro del cono de luz. Estaríamos de hecho violando el postulado de que las leyes físicas son idénticas para todos los observadores inerciales. Si yo escribo este texto y usted lo lee dentro de un año, es imposible que exista un observador que vea que usted lo ha leído antes de que yo lo haya escrito, porque existe una relación causal.

Hecha esta diferenciación, que como vemos brota de forma completamente sorprendente solamente debido a la existencia del cono de luz, a diferencia del mundo euclídeo, que es mucho más aburrido, volvamos a nuestros vectores unitarios.

Mi vector unitario $e_{x}$ tiene un intervalo espacio-temporal igual a $1$ . Mi vector unitario $e_{t}$ tiene un intervalo espacio-temporal igual a $-1$ . Si yo aplico una isometría, es decir, la transformación de Lorentz, por definición por ser el $\mathrm{d}s^{2}$ el equivalente a la norma inducida por mi métrica, mi vector unitario $e_{x}$ transformado deberá tener el mismo $\mathrm{d}s^{2}=1$ , y mi vector unitario transformado $e_{t}'$ deberá tener el mismo $\mathrm{d}s^{2}=-1$ .

Ahora, ¿qué lugar geométrico definen estos vectores cuando imponemos esa condición? Pues muy simple, si lo dibujan, en lugar del círculo que teníamos antes, lo que tenemos es un par de hipérbolas, el $x^{2}-(ct)^{2}=\mathrm{d}s^{2}$ en cuestión. Una hipérbola con sus dos ramas dentro del cono de luz, y otra hipérbola con sus dos ramas fuera del cono de luz.

Estos son, por así decirlo, los lugares geométricos de «distancia constante» en el espacio de Minkowski. Viéndolo en $M^{3}$ , que es más conveniente porque no se pierde tanta información, vemos que si $\mathrm{d}s^{2}=0$ el lugar geométrico formado es un cono, si $\mathrm{d}s^{2}>0$ es un hiperboloide de una sola hoja, y si es $\mathrm{d}s^{2}<0$ es un hiperboloide de dos hojas disjuntas.

Fíjense qué interesante: si yo estoy en $\mathbb{R}^{3}$ con la métrica euclídea y con un punto cualquiera, y hago el lugar geométrico de todos los puntos en los que podría estar si hiciera una rotación, aquello definiría una esfera siempre, porque mi distancia siempre es positiva. Pero, en cambio, como $\mathrm{d}s^{2}$ cambia de signo en mi espacio de Minkowski de $M^{3}$ , en función de dónde esté, me define un lugar u otro, una cuádrica u otra. Huelga decir que el cono de luz es exactamente el límite perfecto entre los hiperboloides de una hoja y los de dos hojas, algo que se ve muy bien estudiando geometría proyectiva, aunque no viene al caso.

La interpretación que explica por qué en un caso tenemos un hiperboloide de una hoja, que es conexo por todo el espacio-tiempo, siempre que estemos fuera del cono de luz, pero que dentro de ese cono de luz esas hojas sean inconexas, es precisamente lo que explicaba antes: si tengo un suceso en el espacio-tiempo que no guarda relación causal conmigo, si tengo un observador que respecto de mí se mueve a otra velocidad, podría ver ese suceso en el pasado o en el futuro, y por supuesto en un eje espacial o en el otro. Todo ese espacio está conectado. En cambio, dentro del cono de luz existe una gran diferencia entre el pasado y el futuro, debido al signo del tiempo que imprime la segunda ley de la termodinámica. Todo lo que pertenezca a mi pasado causal, todo lo que está dentro de mi cono de luz con $t$ menor que cero, jamás podrá verlo alguien que simplemente se mueve respecto de mí en el futuro, porque rompería la ley física de causa y efecto.

De hecho, el presente, la rebanada de simultaneidad alcanzable causalmente, si se fijan, a diferencia de en el caso de Galileo y Newton, que era todo el plano espacial perpendicular a la línea de tiempo, aquí se reduce a un solo punto: el propio suceso de origen. No existe ninguna forma de comunicarme causalmente con sucesos que ocurren de forma simultánea a mí. Solamente puedo hacerlo con eventos que están en mi futuro causal, es decir, en la rama superior de la hipérbola de dos hojas.

Para hacer este análisis era necesario, como habrán podido advertir, irnos a $M^{3}$ , pero de ahora en adelante podemos volver a limitarnos a $M^{2}$ , donde prácticamente todo lo demás es explicable. Como venimos diciendo, una rotación, una transformación de Lorentz, es equivalente a un deslizamiento a lo largo de la hipérbola en cuestión en que se encuentre nuestro suceso.

Una consecuencia interesante es que, por ejemplo, esté donde esté el suceso en una hipérbola externa al cono de luz, siempre existe un sistema de referencia inercial respecto de mí que ve ese suceso como simultáneo a él mismo. Sí: estoy diciendo lo que parece que estoy diciendo; el hecho de que usted y yo veamos que dos cosas ocurren a la vez es única y exclusivamente una cuestión de perspectiva, da la casualidad de que estamos en el sistema privilegiado que ha visto esos sucesos de forma simultánea, con una distancia física entre ellos que llamamos «longitud propia». Todos los demás sistemas inerciales del mundo habrían visto suceder a uno antes que el otro, o viceversa, y con una distancia relativa mayor.

Asimismo, si me encuentro en una hipérbola interior del cono de luz, sea cual sea el suceso, siempre va a haber alguien que se mueve respecto de mí a una velocidad tal que va a ver que ese suceso ocurre en el mismo lugar en que él se encuentra, simplemente que con un cierto delay, un cierto tiempo al que llamamos «tiempo propio». Cualquier otro observador verá que el tiempo entre esos dos sucesos es mayor al tiempo propio.

O sea, que tanto dentro como fuera del cono de luz claramente siempre hay un sistema privilegiado; en un caso, fuera del cono de luz, el sistema que observa el suceso de manera simultánea a una longitud propia, y en cambio, dentro del cono de luz, el sistema que observa el suceso en su propio lugar, en un tiempo propio.

Como en cada caso el intervalo espacio-temporal se relaciona con una magnitud diferente, decimos que los sucesos externos al cono de luz son de tipo «espacial», porque $\mathrm{d}s^{2}$ coincide con la longitud propia al cuadrado de ese suceso, y los internos al cono de luz son de tipo «temporal», porque $-\mathrm{d}s^{2}$ coincide con el tiempo propio al cuadrado de ese suceso (multiplicado por $c^{2}$ ):

\mathrm{d}s^{2}=\ell_{0}^{2}\quad\text{(tipo espacial)},\qquad -\mathrm{d}s^{2}=c^{2}\tau^{2}\quad\text{(tipo temporal)}.

La primera vez que uno tiene contacto con toda esta estructura del espacio-tiempo, que simplemente se deriva del postulado de la constancia de la luz, siente que la relación con su propio mundo es realmente muy distante.

Sin embargo, ya hemos dejado entrever varias consecuencias absolutamente fundamentales que desbancan por completo la intuición que habitualmente tenemos del tiempo y el espacio.

¿Lo mejor de todo? Que no hemos necesitado ni saber cuál es la forma de las transformaciones de Lorentz todavía, sino simplemente saber que son isometrías. Tampoco hemos tenido que hacer el más mínimo experimento mental de varas de luz, trenes y relojes.

Habrá a quien todo eso le encante, y honestamente creo que es necesario, porque además es de donde nace, pero este camino no solo es más rápido y elegante, sino que es ciertamente el modelo fundacional de cómo hacer que la estructura y la relación, y no lo que hemos llamado sus «proyecciones», sean la esencia detrás de casi cualquier teoría de la física contemporánea.

Así, es realmente interesante ver, como meros corolarios de nuestra construcción, la idea de que la simultaneidad es relativa, y de que el tiempo entre dos sucesos es relativo, y de que la longitud entre dos sucesos es relativa. Como también podemos dar sentido a las dos más famosas transformaciones cinemáticas a que da lugar la Relatividad Especial, que Lorentz había empleado para montar sus transformaciones, y que había interpretado dinámicamente: la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud.

Sin embargo, para explicar a fondo estas dos les emplazo a un próximo texto, puesto que hay un par de confusiones que generalmente surgen con respecto a ellas… que hay que explicar más detalladamente.

Porque ahora, en lo que vamos a centrarnos, es en dar la forma exacta de esa estructura que, como bien motivó el Programa de Erlangen, se encuentra en la raíz de todo: las transformaciones de Lorentz.

IX. Rotaciones hiperbólicas

Las transformaciones de Lorentz son isometrías que cumplen un par de condiciones concretas, que también exigimos al grupo de Galileo. Esas condiciones son básicamente que no pueda existir una inversión del tiempo, y que se mantenga la orientación. Como además estamos en un espacio vectorial, no existen traslaciones, y, por tanto, lo que nos queda es que nuestra isometría se convierte en una pura rotación. Piensen que una rotación tiene que ser una isometría, porque no altera las longitudes ni los ángulos, pero que pudiera existir una isometría que no fuera una rotación, por ejemplo, una reflexión respecto de un eje. Pero eso es algo que a Lorentz no le sucede, así que en todo momento podemos imaginarnos nuestra matriz de transformación exactamente igual que una matriz de rotación.

Si estuviéramos en una métrica euclídea, el lugar geométrico de los puntos a que da lugar una rotación es, como dijimos, por definición, una circunferencia. Una circunferencia es el conjunto de puntos que tienen la longitud dada; por ejemplo, $1$ . Una forma de describir, de parametrizar cualquier circunferencia es con el coseno y el seno. Ese es el motivo por el que, si yo roto mis dos vectores unitarios $e_{x}$ y $e_{y}$ a lo largo de esa circunferencia, siempre, absolutamente, van a ser de la forma $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ , para un cierto ángulo, y el otro, el vector perpendicular, es decir, $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ . Por tanto, la matriz de rotación es

Pues bien, en nuestro espacio de Minkowski, sabemos que nuestros vectores unitarios $e_{x}$ y $e_{t}$ se van a deslizar por las ramas correspondientes de sus hipérbolas. Si sabemos cómo podemos parametrizar nuestra hipérbola unitaria en base a un parámetro, a ese parámetro tiene mucho sentido llamarle ángulo.

Y si tenemos una expresión para nuestras ramas de las hipérbolas en función de ese ángulo, y a su vez sabemos que las transformaciones de Lorentz, si quitamos la rotación finita de los ejes, que no es interesante tenerla en cuenta, solo dependen de la velocidad, lo que sucede es que literalmente debe existir una relación biunívoca entre velocidad y ángulo, como ya habíamos adelantado.

El ángulo de una circunferencia, medido en radianes, se puede definir como el área que corta el vector radio a esa circunferencia, para ese ángulo, multiplicado por dos. Por ejemplo, el ángulo $2\pi$ , darle la vuelta a la circunferencia entera, equivale a un área $1^{2}\pi$ , es decir, $\pi$ . En realidad, geométricamente esta es la forma más conveniente de definir un ángulo.

De la misma manera, en el caso de la hipérbola, definimos su ángulo como el doble del área que cubre el vector, asociado a ese ángulo, que va hasta tocar a la hipérbola.

Si se dan cuenta, existe una diferencia importante entre el ángulo en un círculo, que básicamente solo posee información nueva a cubrir entre $0$ y $2\pi$ , y el caso de la hipérbola, donde el ángulo, por cómo lo hemos definido, puede llegar de menos infinito hasta más infinito. Es decir, en principio el área completa bajo una hipérbola es infinita. (Esto es algo que se puede demostrar integrando $1/x$ , que es exactamente una hipérbola; como la integral es el logaritmo, que diverge, el área bajo una hipérbola es infinita.)

En todo caso, aquí lo interesante es ver los paralelismos con el caso que todos conocemos de la circunferencia. En lugar de tener $x^{2}+y^{2}=1$ , nuestras hipérbolas unidad son

x^{2}-(ct)^{2}=1

fuera del cono de luz, adonde apunta el vector $e_{x}$ , y

x^{2}-(ct)^{2}=-1

dentro del cono de luz, adonde apunta el vector $e_{t}$ . Pues bien, al igual que, dado el parámetro ángulo, las funciones trigonométricas coseno y seno se construyen para parametrizar una circunferencia, y se tiene que cumplir $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ , de la misma manera las funciones hiperbólicas coseno hiperbólico y seno hiperbólico literalmente cumplen

\cosh^{2}\varphi-\sinh^{2}\varphi=1,

y son la parametrización natural de una hipérbola usando el parámetro angular $\varphi$ , que también recibe el nombre de rapidez, por la relación que va a tener con la velocidad.

Haciendo un razonamiento similar al que podemos hacer con el círculo, nuestro vector unitario espacial rotado debe tener la forma $(\cosh\varphi,\ \sinh\varphi)$ , y el vector unitario temporal rotado debe tener la forma $(\sinh\varphi,\ \cosh\varphi)$ —en coordenadas $(x,\ ct)$ —; por tanto, la matriz de rotación debe ser

Observen que, debido al signo menos de nuestra métrica, aunque los vectores unitarios desde nuestra perspectiva se están cada vez asemejando mucho más el uno al otro, en realidad siguen siendo perpendiculares. Se cancelan perfectamente. De hecho, asintóticamente, ¿a dónde van a converger ambos vectores? Efectivamente, a uno de los vectores directores del cono de luz, que, como sabemos, tienen su intervalo del espacio-tiempo nulo, porque la luz es ortogonal a sí misma. No estamos sino haciendo que nuestros vectores tengan, cada vez más, sus componentes en ese cono de luz, y da igual cuánto nos acerquemos: el producto escalar de sus proyecciones va a ser cero porque la luz es perpendicular a sí misma. (La otra parte se descompone sobre el otro cono de luz, de vectores opuestos; hay que decir que dos vectores opuestos en el cono de luz, debido de nuevo a ese signo menos, no se cancelan, sino que suman, pero debido a las coordenadas de nuestra proyección concreta, aquí también se cancelan.)

Como ven, toda nuestra intuición sobre perpendicularidad y longitud se va al traste; de hecho, no solamente tenemos que si rotamos hiperbólicamente nuestros ejes estos lo que van a hacer es ese efecto tijera de convergencia hacia el cono de luz, sino que, en el propio cono de luz, que, me dirán, tiene todos sus vectores de «longitud cero», también ocurren cosas muy extrañas. Y es que, si bien el cono de luz es un invariante, y sus vectores tienen longitud cero, y siempre van a tener esa longitud cero, y tampoco pueden rotar, porque están en esa línea invariante, en cierto sentido sí que va a haber una cierta dilatación o contracción, en función de en qué recta del cono se esté. Este es el famoso efecto Doppler, el que hace que veamos que objetos luminosos que se acercan a nosotros aumenten su espectro azulado, mientras que, si se alejan, aumenten su espectro rojizo. Esto es otro mundo, y no me voy a meter ahí; pero, de nuevo, las cosas no son tan simples como parecen, porque, aunque nuestro suceso del cono de luz no debería poder dilatarse ni contraerse, porque tiene longitud cero, ¡en cierto sentido sí que se va a manifestar de esa forma!

Pero volvamos a nuestros vectores unitarios. Todavía no sabemos qué quiere decir exactamente esa rapidez, ese parámetro angular en el cual en realidad no queremos verlo representado todo, porque nos es ajeno en nuestra realidad física… ¿o no tanto?

Tomen la rama de arriba, por ejemplo, que es la accesible por parte de partículas que pudieron haber partido desde nuestro origen. (Recuerden que esto no sería posible fuera del cono de luz.) Como dijimos, debido a que el área del sector hiperbólico se va hasta infinito, nuestra rapidez se puede hacer infinita.

Por otro lado, si yo tengo un ángulo $\varphi_{1}$ y un ángulo $\varphi_{2}$ , como son literalmente áreas, puedo sumarlos, y por tanto $\varphi=\varphi_{1}+\varphi_{2}$ .

Pues bien, resulta que, en cierto sentido, esta rapidez va a ser como nuestra velocidad galileana: es aditiva, y, como poder, puede irse hasta el infinito. Y, en cambio, nuestra velocidad real, la física, va a ser la pendiente asociada a ese ángulo, que, como pueden ver, está acotada por los rayos de luz, y solo va a poder moverse entre $-1$ y $1$ (midiendo las velocidades en unidades de $c$ )…

A ver, a ver, porque aquí las cosas se pueden volver un poco confusas; vamos lento.

Tomemos un suceso en la hipérbola unitaria del tiempo, que en nuestro sistema $K$ observamos de la forma $(\sinh\varphi,\ \cosh\varphi)$ , donde la primera componente es $x$ y la segunda, $ct$ .

El vector unitario que nos lleva hasta ese punto es cómo nosotros vemos el vector unitario del tiempo del sistema $K'$ en el cual ese suceso es propio.

Fíjense en lo siguiente: ¿cuál es la recta tangente a esa hipérbola en el suceso que para nosotros es propio, es decir, en el punto $(0,\ 1)$ , que descansa sobre nuestro propio eje temporal? Pues una recta horizontal: la recta del espacio, la recta de simultaneidad de nuestro sistema $K$ .

¿Y cuál es la recta tangente a la hipérbola en el suceso $(\sinh\varphi,\ \cosh\varphi)$ ? Pues derivando respecto de $\varphi$ , que es el parámetro con que parametrizamos nuestra hipérbola, nos da $(\cosh\varphi,\ \sinh\varphi)$ .

(Recuerden que con las funciones hiperbólicas al derivar no nos aparecen signos menos, a diferencia de en el caso de las trigonométricas, pero eso no es un problema porque nuestra métrica precisamente hace que sean perpendiculares; en efecto, con la métrica de Minkowski en coordenadas $(x,\ ct)$ se tiene $\langle(\sinh\varphi,\cosh\varphi),\,(\cosh\varphi,\sinh\varphi)\rangle=\sinh\varphi\cosh\varphi-\cosh\varphi\sinh\varphi=0$ .)

Pero fíjense en que nos ha dado $(\cosh\varphi,\ \sinh\varphi)$ , ¡que es exactamente el vector unitario del espacio transformado por el mismo ángulo!

O sea, al suceso que nosotros vemos como $(\sinh\varphi,\ \cosh\varphi)$ le sucede que está justamente sobre la línea del tiempo rotada, y que la tangente a la hipérbola en él es justamente la línea de simultaneidad rotada, perpendicular a aquella;

es decir, que el sistema $K'$ que tiene como vector unitario del tiempo ese que nosotros vemos rotado ES exactamente el sistema que ve que ese evento ocurre de forma total en el tiempo, es decir, es el sistema privilegiado de nuestra rama: ve que el suceso ocurre en el mismo lugar que el origen.

¿Y a qué velocidad se mueve ese sistema respecto de nosotros? Como ve el evento en su mismo lugar, tiene que estar justamente en el lugar del suceso, y tiene que haber tardado en llegar ahí justamente el tiempo en que nosotros vemos que ocurre ese evento. Es decir, su velocidad es, simplemente, $v=x/t$ . Ahora bien, $x=\sinh\varphi$ y $ct=\cosh\varphi$ , luego

v=\frac{x}{t}=c\,\frac{\sinh\varphi}{\cosh\varphi}=c\,\tanh\varphi,

y por tanto

\boxed{\ \tanh\varphi=\frac{v}{c}\ }

donde $\tanh\varphi$ es, exactamente, la pendiente de la secante que llega hasta nuestro suceso, al igual que ocurriría con un círculo.

¡He aquí la relación entre la rapidez y la velocidad! La rapidez $\varphi$ , como el área de nuestro sector hiperbólico, recorre todo el intervalo $(-\infty,+\infty)$ ; pero la tangente hiperbólica comprime ese intervalo infinito en el intervalo finito $(-1,1)$ , exactamente como predice la relación entre $v$ y $c$ : $v$ nunca puede alcanzar la velocidad de la luz, pues necesitaría una rapidez infinita. Nuestra pendiente está perfectamente acotada por las dos ramas del cono de luz que acotan la región donde vive nuestra hipérbola.

Teniendo $\tanh\varphi=v/c$ , el cálculo del $\cosh\varphi$ y del $\sinh\varphi$ es trivial: basta dividir la identidad $\cosh^{2}\varphi-\sinh^{2}\varphi=1$ entre $\cosh^{2}\varphi$ para obtener $1-\tanh^{2}\varphi=1/\cosh^{2}\varphi$ , y de ahí

\cosh\varphi=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\equiv\gamma,\qquad \sinh\varphi=\gamma\,\frac{v}{c},

que es a lo que se llama el famoso factor $\gamma$ . Las transformaciones de Lorentz nos quedan tal que así:

y, sin más que cambiar $\varphi$ por $-\varphi$ , es decir, invirtiendo la rotación,

vista la rotación no ya desde la perspectiva de la rapidez, sino de la velocidad física.

Pero esta relación entre rapidez y velocidad es mucho más útil aún, porque nos permite también obtener de manera geométrica, sin tener que usar cálculo diferencial, las transformaciones de la velocidad. Como recordamos hace un momento, para Galileo las velocidades son infinitamente aditivas.

Sin embargo, sabemos que la velocidad física que nosotros percibimos en realidad no lo es. Si tengo a un tipo que se mueve hacia mi izquierda a $0{,}8\,c$ , y a otro tipo que se mueve hacia mi derecha a $0{,}8\,c$ , entre ellos no pueden verse a $1{,}6\,c$ ; como mucho, se pueden ver a $c$ , y ni siquiera. Hay que someter a la velocidad a una corrección. Pues bien, normalmente podemos obtener esa corrección derivando y relacionando manualmente las coordenadas, pero también podemos hacerlo de una forma que, dicho sea de paso, tiene mucha más miga filosófica.

X. Pintura, belleza y… de vuelta a la caverna

Como bien sabían los artistas del Renacimiento, o cualquiera que intenta colapsar una geometría 3D en una geometría 2D, lo que ahí afuera se percibe como sumas lineales, 10 metros más 10 metros, en nuestro cuadro sigue una suma que no es exacta, sino que se va aplastando, se va contrayendo, van apelotonándose asintóticamente en la medida en que nos acercamos a las líneas de fuga, las líneas infinitas.

Una ejemplificación sería el cuadro Calle de París, día lluvioso, de Gustave Caillebotte. Imaginando que tenemos un ojo, en lugar de dos, que se encuentra en nuestro origen, las calles serían el equivalente a nuestro cono de luz, y podemos imaginarnos perfectamente que el edificio triangulado es nuestra hipérbola. Si vamos recorriendo angularmente la hipérbola, el área barrida vendría a ser el ángulo, como ya hemos dicho, y, suponiendo que la calle fuera infinita, podríamos llegar a abarcar un área también infinita. Sin embargo, en nuestra proyección del cuadro, claramente esa área infinita se comprime en un área finita, o bien podemos verlo como que una longitud infinita se convierte en una longitud finita. En nuestro edificio de infinitas ventanas, el metro entre la ventana 1 y la 2 en el cuadro se ve mucho más grande que el metro entre la ventana 4 millones y la 4 millones y una, que prácticamente ya no aporta nada.

Pues bien, exactamente eso es la velocidad que nosotros percibimos en nuestro mundo físico: una proyección encajonada entre $-c$ y $c$ de una realidad geométrica incomprensible para nosotros, que es la rapidez. Sería como si una hormiguita que vive en el cuadro de Caillebotte, que solo pudiera entender la geometría 2D, intentara entender la visión 3D del pintor que proyectó esa calle infinita en un cuadro finito.

Esa compresión del intervalo infinito angular al intervalo finito de las pendientes que acota nuestro cono de luz es exactamente la fórmula de transformación de las velocidades. Si un observador $B$ se aleja de $A$ , nuestro sistema $K$ , a una velocidad hiperbólica $\varphi_{1}$ , con su pendiente asociada $\tanh\varphi_{1}$ , y un observador $C$ se aleja de $B$ a una velocidad hiperbólica $\varphi_{2}$ , con su pendiente asociada $\tanh\varphi_{2}$ ,

¿a qué pendiente asociada a su rapidez se aleja $C$ respecto de $A$ ? Debido a la relación entre la velocidad y la pendiente, esto es lo mismo que preguntar a qué velocidad se mueve $C$ respecto de $A$ .

La pregunta es análoga, si lo piensan, a cuando en un círculo tenemos un ángulo $\theta_{1}$ , con una pendiente asociada, que es la tangente de $\theta_{1}$ , y un ángulo $\theta_{2}$ , con una pendiente asociada, que es la tangente de $\theta_{2}$ .

¿Cuál es la pendiente del ángulo $\theta_{1}+\theta_{2}$ ? Claramente, no es la suma de las pendientes: $\tan(\theta_{1}+\theta_{2})\neq\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}$ . Por ejemplo, la pendiente de $\theta=45^{\circ}$ es $1$ , la recta $y=x$ , pero la pendiente de $\theta=90^{\circ}$ , que es $\theta=45^{\circ}+45^{\circ}$ , es infinita. La tangente es una forma de proyectar sobre una recta un ángulo: es una descompresión, es pasar de $\left(-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right)$ a $(-\infty,+\infty)$ . En concreto, se acoge a la fórmula siguiente, que no vamos a demostrar, a pesar de que es mucho más bella de lo que parece:

\tan(\theta_{1}+\theta_{2})=\frac{\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}}{1-\tan\theta_{1}\tan\theta_{2}}.

Pues bien, debido a la geometría hiperbólica, lo que hacemos es lo inverso: la tangente hiperbólica sigue proyectando un ángulo sobre una recta, pero en este caso esa recta está acotada por los puntos $-1$ y $1$ , ¡y, en cambio, la rapidez es la que varía infinitamente! La fórmula, cómo no, es muy parecida, simplemente que con un ajuste en los signos, como ya no debería extrañarnos:

\tanh(\varphi_{1}+\varphi_{2})=\frac{\tanh\varphi_{1}+\tanh\varphi_{2}}{1+\tanh\varphi_{1}\tanh\varphi_{2}}.

Sustituyendo las tangentes hiperbólicas por sus significados en términos de $v$ , obtenemos con exactitud la relación para la transformación entre velocidades:

\frac{v}{c}=\frac{\dfrac{v_{1}}{c}+\dfrac{v_{2}}{c}}{1+\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad v=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}.

Si aquí, por ejemplo, sustituyen el caso límite, $c$ y $c$ , efectivamente, la fórmula impone que la suma en la «longitud entre esas ventanas tan lejanas» es literalmente cero, y se quedan en $c$ ; se quedan encajonados en su cono de luz, y en su proyección en nuestro mundo físico.

Y he aquí una extraña coincidencia: resulta que la verdadera transformación de las velocidades sí que es linealmente aditiva, como pensaba Galileo, y como a todos nosotros nos resultaría intuitivo; sin embargo, lo que es extraño es la propia definición de cuál es esa noción de velocidad que podemos sumar sin más.

La respuesta es la rapidez, que es el ángulo de rotación en un espacio-tiempo con geometría hiperbólica que ni siquiera podemos atisbar desde nuestra intuición. La ironía es que Galileo, en cierto sentido, y a modo de boutade, tenía razón en todo: en su principio de relatividad de las leyes físicas, del que tendremos que hablar en el próximo texto, dedicado a la dinámica relativista, e incluso en la ley de aditividad de las velocidades. ¡Simplemente, la velocidad no era la proyección que nosotros percibimos, sino otra que no podíamos imaginar!

Bueno, que no podíamos imaginar, al menos hasta que nos dimos cuenta de que nuestras leyes de la mecánica, y también del electromagnetismo, no son sino una proyección de ese espacio de relaciones platónicas, esa isometría perfecta en el espacio-tiempo.

Además, la vía para lograrlo era exactamente la que sugería Platón: la Belleza. La Belleza como vía de alcanzar el mundo de las Ideas, como bien se indica en el Banquete de Platón. Pues sí: el criterio, en última instancia, para montar todo este pifostio, no es otro que la búsqueda de una elegancia y belleza no inteligibles a los sentidos. Porque, como bien dijimos, el criterio que nos hizo seleccionar la visión de Einstein, embellecida por Minkowski, y no la de Lorentz, es un criterio puramente estético. La ontología es una elección estética determinada por la Belleza; su superficie, su espuma, las sombras que proyecta, mientras sean compatibles con una explicación subyacente, nada pueden decir acerca de cómo esa explicación debe funcionar. De hecho, como ya dijimos, incluso se puede plantear una teoría de la Relatividad General en términos de la visión lorentziana, que fue trabajada, por ejemplo, por el mismísimo Feynman. Y lo cierto es que funciona bien, pero solo localmente; lo cual nos inclina, de nuevo, a pensar que existe una especie de conspiración del universo para que el enfoque más bello, en este caso, el de la Teoría de la Relatividad, Especial o General, sea el que en cierto sentido nos encamine a la Verdad. Por ahora, porque aún queda un infinito trecho por delante.

Acaso solo falte, y en esto no podemos todavía compartir la visión de Platón y los escolásticos medievales, la noción de Bien; así completaríamos la tríada: Bien, Verdad y Belleza. Pero quién sabe, quizás exista alguna otra teoría ahí afuera, no física, naturalmente, que sí combine las tres…

Lo dejo a adivinanza del lector. En cuanto a mí, me despido aquí. Espero que les haya gustado leerlo tanto como a mí me ha gustado investigar este fascinante tema, y espero que me acompañen también en el complemento natural a este texto (donde solo hemos hablado de cinemática), que será el siguiente: la dinámica. Nos vemos entonces.

I. Teoría de los invariantes y Erlangen

II. Aristóteles, Galileo y la intuición

III. El desastre de Galileo y Newton: el fibrado trivial

IV. Abrazando… ¿lo absoluto?

V. El juego de métricas y la verdadera isometría

VI. El postulado de la luz y la transmisión de la información

VII. Espacio de Minkowski y relatividad… ¿«especial»?

VIII. Las regiones del espacio-tiempo

IX. Rotaciones hiperbólicas

X. Pintura, belleza y… de vuelta a la caverna

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